Question

某企業(yè)準(zhǔn)備在2006年對(duì)員工增加獎(jiǎng)金200元，其中有120元是基本獎(jiǎng)金．預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi)，該企業(yè)每年新增加的獎(jiǎng)金平均比上一年增長(zhǎng)8%．另外，每年新增加的獎(jiǎng)金中，基本獎(jiǎng)金均比上一年增加30元．那么，到哪一年底，
（1）該企業(yè)歷年所增加的獎(jiǎng)金中基本獎(jiǎng)金累計(jì)（以2006年為累計(jì)的第一年）將首次不少于750元？
（2）當(dāng)年增加的基本獎(jiǎng)金占該年增加獎(jiǎng)金的比例首次大于85%？

Answer 1

解：（1）設(shè)基本獎(jiǎng)金形成數(shù)列{a_n}，由題意可知{a_n}是等差數(shù)列，
（或a₁=120，，d=30，或a_n=120+30 （n-1））（1分）
S_n=a₁n+n（n-1）d（2分）
則S_n=120n+15n（n-1）=15n²+105n=15（n²+7n）（4分）
令15n²+105n≥750，即n²+7n-50≥0，而n是正整數(shù)，∴n≥5．（5分）
到2010年底該企業(yè)歷年所增加的工資中基本工資累計(jì)將首次不少于750元．（6分）
（2）設(shè)新增加的獎(jiǎng)金形成數(shù)列{b_n}，由題意可知{b_n}是等比數(shù)列，（或b₁=200，q=1.08，或b_n=b_n-1q） （7分）
則b_n=200•（1.08）^n-1（9分）
由題意可知a_n＞0.85 b_n，有120+30 （n-1）＞200•（1.08）^n-1•0.85． （11分）
由計(jì)箅器解得滿足上述不等式的最小正整數(shù)n=5，（13分）
到2010年底，當(dāng)年增加的基本獎(jiǎng)金占該年增加獎(jiǎng)金的比例首次大于85% （14分）
分析：（1）設(shè)基本獎(jiǎng)金形成數(shù)列{a_n}，由題意可知{a_n}是等差數(shù)列，然后求出該數(shù)列的前n項(xiàng)和，最后根據(jù)歷年所增加的獎(jiǎng)金中基本獎(jiǎng)金累計(jì)（以2006年為累計(jì)的第一年）將首次不少于750元建立關(guān)系式，解之即可求出所求；
（2）設(shè)新增加的獎(jiǎng)金形成數(shù)列{b_n}，由題意可知{b_n}是等比數(shù)列，然后根據(jù)題意可知a_n＞0.85 b_n，解之即可求出所求．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合運(yùn)用，同時(shí)考查了數(shù)列的求和和一元二次不等式的解法，屬于中檔題．