某企業(yè)準備在2006年對員工增加獎金200元,其中有120元是基本獎金.預計在今后的若干年內,該企業(yè)每年新增加的獎金平均比上一年增長8%.另外,每年新增加的獎金中,基本獎金均比上一年增加30元.那么,到哪一年底,
(1)該企業(yè)歷年所增加的獎金中基本獎金累計(以2006年為累計的第一年)將首次不少于750元?
(2)當年增加的基本獎金占該年增加獎金的比例首次大于85%?
【答案】分析:(1)設基本獎金形成數(shù)列{an},由題意可知{an}是等差數(shù)列,然后求出該數(shù)列的前n項和,最后根據(jù)歷年所增加的獎金中基本獎金累計(以2006年為累計的第一年)將首次不少于750元建立關系式,解之即可求出所求;
(2)設新增加的獎金形成數(shù)列{bn},由題意可知{bn}是等比數(shù)列,然后根據(jù)題意可知an>0.85 bn,解之即可求出所求.
解答:解:(1)設基本獎金形成數(shù)列{an},由題意可知{an}是等差數(shù)列,
(或a1=120,,d=30,或an=120+30 (n-1))(1分)
Sn=a1n+n(n-1)d(2分)
則Sn=120n+15n(n-1)=15n2+105n=15(n2+7n)(4分)
令15n2+105n≥750,即n2+7n-50≥0,而n是正整數(shù),∴n≥5.(5分)
到2010年底該企業(yè)歷年所增加的工資中基本工資累計將首次不少于750元.(6分)
(2)設新增加的獎金形成數(shù)列{bn},由題意可知{bn}是等比數(shù)列,(或b1=200,q=1.08,或bn=bn-1q) (7分)
則bn=200•(1.08)n-1(9分)
由題意可知an>0.85 bn,有120+30 (n-1)>200•(1.08)n-1•0.85. (11分)
由計箅器解得滿足上述不等式的最小正整數(shù)n=5,(13分)
到2010年底,當年增加的基本獎金占該年增加獎金的比例首次大于85% (14分)
點評:本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合運用,同時考查了數(shù)列的求和和一元二次不等式的解法,屬于中檔題.
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(1)該企業(yè)歷年所增加的獎金中基本獎金累計(以2006年為累計的第一年)將首次不少于750元?
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