已知是不為零的常數(shù),二次函數(shù)的定義域?yàn)镽,函數(shù)為偶函數(shù). 函數(shù)的定義域?yàn)?sub>

(1)求的值;

(2)當(dāng)、時(shí),求函數(shù)的值域;

(3)是否存在實(shí)數(shù),使函數(shù)的值域?yàn)?sub>?如果存在,求出的值; 如果不存在,請(qǐng)說明理由.

解:(1) ,       …………1

        ,   …………2分

為偶函數(shù),知恒成立,得,…………3分

             ∴.                                                 …………4分

(直接由的表達(dá)式及偶函數(shù)得出,建議不扣分;用圖象平移及二次函數(shù)對(duì)稱軸得出,建議也不扣分.)

(2),對(duì)稱軸為直線.     …………5分

當(dāng)時(shí),定義域?yàn)?sub>

遞增,此時(shí)函數(shù)值的集合為,即

遞減,此時(shí)函數(shù)值的集合為,

(如圖);

所以,當(dāng)時(shí),

函數(shù)的值域?yàn)?sub>.                  …………8分

(3) 存在實(shí)數(shù),使函數(shù)的值域?yàn)?sub>.討論如下:

①當(dāng)時(shí),函數(shù)遞增.若函數(shù)值域?yàn)?sub>,

             則,                                   …………9分

、是方程的兩根,而方程的兩根是、,所以由<得,、.        …………10分

         ②當(dāng)時(shí),

,函數(shù)的最大值為,則,相互矛盾.      …………11分

,函數(shù)遞減,函數(shù)值域?yàn)?sub>,則

兩式相減后,變形得,而

所以,,即,

代入,此方程無實(shí)解,此時(shí)不存在、.…13分

綜上所述,存在實(shí)數(shù)、,使函數(shù)的值域?yàn)?sub>.  …………14分

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知?jiǎng)狱c(diǎn)A,B分別在x軸、y軸上,且滿足|AB|=2,點(diǎn)P在線段AB上,且
AP
=t
PB
(t是不為零的常數(shù)).設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線C.
(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;若t=2,點(diǎn)M,N是C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(M,N不在坐標(biāo)軸上),點(diǎn)Q(
3
2
,3)
,(2)求△QMN的面積S的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ex,g(x)=ax+1(a是不為零的常數(shù),且a∈R).
(1)討論函數(shù)F(x)=f(x)•g(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)a=-1時(shí),方程f(x)•g(x)=t在區(qū)間[-1,1]上有兩個(gè)解,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知a是不為零的常數(shù),二次函數(shù)g(x)=ax2-x的定義域?yàn)镽,函數(shù)y=g(x-4)為偶函數(shù).函數(shù)f(x)=ax2+x的定義域?yàn)閇m,n](m<n).
(1)求a的值;
(2)當(dāng)m=0、n=12時(shí),求函數(shù)f(x)的值域;
(3)是否存在實(shí)數(shù)m、n,使函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇3m,3n]?如果存在,求出m、n的值;如果不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年吉林省高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué) 題型:解答題

(理)已知?jiǎng)狱c(diǎn)分別在軸、軸上,且滿足,點(diǎn)在線段上,且

是不為零的常數(shù))。設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線。

(1)   求點(diǎn)的軌跡方程;

(2)   若,點(diǎn)上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不在坐標(biāo)軸上),點(diǎn),

(3)   求的面積的最大值。

 

 

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