已知函數(shù)f(x)=ex,g(x)=ax+1(a是不為零的常數(shù),且a∈R).
(1)討論函數(shù)F(x)=f(x)•g(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)a=-1時(shí),方程f(x)•g(x)=t在區(qū)間[-1,1]上有兩個(gè)解,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
分析:(1)求函數(shù)F(x)=f(x)•g(x)的導(dǎo)數(shù)F′(x),再根據(jù)F′(x)的零點(diǎn),討論實(shí)數(shù)a的取值,可得F′(x)=0有一個(gè)或零個(gè)實(shí)數(shù)根,因此將實(shí)數(shù)集分為2個(gè)區(qū)間,分別在這兩個(gè)區(qū)間上討論的正負(fù),即可得出函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)a=-1時(shí),F(xiàn)(x)=f(x)•g(x)=ex(-x+1),可以得出F(x)在(-∞,0)上為增函數(shù),在(0,+∞)上為減函數(shù),故函數(shù)的最大值為F(0)=1,可以求出符合題的實(shí)數(shù)t的取值范圍;
解答:解:(1)由題意可得F(x)=f(x)g(x)=ex(ax+1)
∴F′(x)=ex(ax+a+1)
令∴F′(x)=ex(ax+a+1)=0
x=-
a+1
a

∴當(dāng)a>0時(shí)F(x)=f(x)•g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-
a+1
a
,+∞)單調(diào)減區(qū)間為(-∞,-
a+1
a

當(dāng)a<0時(shí)F(x)=f(x)•g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-
a+1
a
)單調(diào)減區(qū)間為(-
a+1
a
,+∞)
(2)由題意可得當(dāng)a=-1時(shí),F(xiàn)(x)=f(x)•g(x)=ex(-x+1)
由(1)可得當(dāng)a=-1時(shí)可以得出F(x)在(-∞,0)上為增函數(shù),在(0,+∞)上為減函數(shù)
∴函數(shù)的最大值為F(0)=1
又∵方程f(x)•g(x)=t在區(qū)間[-1,1]上有兩個(gè)解
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍是(-∞,1).
點(diǎn)評:(1)函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)更能體現(xiàn)它的作用.
(2)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值進(jìn)而求出參數(shù)的范圍.
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