Question

【題目】如圖，直三棱柱中，、分別是,的中點(diǎn)，.

（1）證明：∥平面；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）連接AC1交A1C于點(diǎn)F，由三角形中位線定理得BC1∥DF，由此能證明BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，的方向?yàn)閥軸正方向，的方向?yàn)閦軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz．分別求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的正弦值

試題解析：（1）證明：連接，交于點(diǎn)

則為的中點(diǎn)

又是的中點(diǎn)，連接

則∥，因?yàn)?/span>平面，平面

所以∥平面

（2）解：由，得

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、為軸、軸、軸建立如圖的空間坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，，，

設(shè)是平面的法向量，

則，即，

可取

同理，設(shè)是平面的法向量，則，

可取

從而

故

即二面角的正弦值為.