已知雙曲線的中心在原點,焦點在坐標軸上,離心率為,且過點(4,-)(1)求雙曲線的方程.(2)若點M(3,m)在雙曲線上,求證:.(3)若點A,B在雙曲線上,點N(3,1)恰好是AB的中點,求直線AB的方程(12分)
(1) .(2)。
解析試題分析:(1)根據(jù)離心率為,可知雙曲線為等軸雙曲線,可設(shè)雙曲線的方程為,再根據(jù)它過點(4,-)代入雙曲線方程求出參數(shù)值,方程確定.
(2)根據(jù)點M(3,m)在雙曲線上,可求出m值,然后求出,從而得到.
(3)因為N(3,1)為弦AB的中點,可利用點差法求得直線的斜率,進而寫出點斜式方程.
(1) ∵離心率為,∴雙曲線為等軸雙曲線.∵雙曲線的中心在原點,焦點在坐標軸上∴設(shè)雙曲線的方程為,,
∵點(4,-)在雙曲線上∴,∴雙曲線的方程為,.(2)∵M(3,m)在雙曲線上,∴,∵,,∴
∴∴.(3)∵點N(3,1)恰好是弦AB的中點∴有點差法易得,∴直線AB的方程為
∴
考點:雙曲線的方程及和性質(zhì),直線與雙曲線的位置關(guān)系.
點評:當知道弦中點時,可利用點差法求得弦所在直線的斜率,寫出點斜式方程再化成一般式方程即可.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知:橢圓的中心為,長軸的兩個端點為,右焦點為,.若橢圓經(jīng)過點,在上的射影為,且△的面積為5.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知圓:=1,直線=1,試證明:當點在橢圓上
運動時,直線與圓恒相交;并求直線被圓截得的弦長的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題12分)設(shè),在平面直角坐標系中,已知向量,向量,,動點的軌跡為E. 求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
點P是圓上的一個動點,過點P作PD垂直于軸,垂足為D,Q為線段PD的中點。
(1)求點Q的軌跡方程。
(2)已知點M(1,1)為上述所求方程的圖形內(nèi)一點,過點M作弦AB,若點M恰為弦AB的中點,求直線AB的方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(12分)已知橢圓,過點(m,0)作圓的切線交橢圓G于A,B兩點.
(1)求橢圓G的焦點坐標和離心率;
(2)將表示為m的函數(shù),并求的最大值.
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(本小題滿分14分)已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合,P為橢圓與拋物線的一個公共點,且|PF|=2,傾斜角為的直線過點.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)橢圓的另一個焦點為,問拋物線上是否存在一點,使得與關(guān)于直線對稱,若存在,求出點的坐標,若不存在,說明理由.
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