Question

【題目】(本小題滿分分)已知圓有以下性質(zhì)：

①過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程是.

②若為圓外一點(diǎn)，過作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則直線的方程為.

③若不在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)為圓外一點(diǎn)，過作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則垂直，即，且平分線段.

(1)類比上述有關(guān)結(jié)論，猜想過橢圓上一點(diǎn)的切線方程(不要求證明)；

(2)過橢圓外一點(diǎn)作兩直線，與橢圓相切于兩點(diǎn)，求過兩點(diǎn)的直線方程；

(3)若過橢圓外一點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上）作兩直線，與橢圓相切于兩點(diǎn)，求證：為定值，且平分線段.

Answer 1

【答案】（1）

（2）

(3)見解析.

【解析】分析：（1）根據(jù)類比推理可得結(jié)論．（2）設(shè)，結(jié)合（1）可得過點(diǎn)的切線方程，根據(jù)兩切線都過點(diǎn)可得和，再結(jié)合過兩點(diǎn)的直線唯一的特點(diǎn)可得直線的方程是．（3）先由直線的方程可得，又，所以．令線段的中點(diǎn)為，由點(diǎn)差法得，于是，故，所以三點(diǎn)共線，從而得到平分線段．

詳解：（1）過橢圓上一點(diǎn)的切線方程是．

（2）設(shè)．

由（1）得過橢圓上點(diǎn)的切線的方程是，

∵直線過點(diǎn)，

∴，

同理．

又過兩點(diǎn)A,B的直線是唯一的，

∴直線的方程是．

（3）由（2）知過兩點(diǎn)的直線方程是，

∴，

又，

∴為定值．

設(shè)線段的中點(diǎn)為，則．

∵點(diǎn)均在橢圓上，

∴①，②

②－①得，

即，

∴，

又

∴，

又，

∴，

∴三點(diǎn)共線，

∴平分線段．