( 12分)如圖,圓柱內(nèi)有一個(gè)三棱柱,三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形,且是圓的直徑。
(1)求證:平面
(2)設(shè),在圓柱內(nèi)隨機(jī)選取一個(gè)點(diǎn),記該點(diǎn)取自三棱
的概率為
(i)當(dāng)點(diǎn)C在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí),求的最大值;
(ii)記平面與平面所成的角為,當(dāng)
取最大值時(shí),求的值。
解:(1)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823192108310264.gif" style="vertical-align:middle;" />平面ABC,平面ABC,所以
因?yàn)锳B是圓O直徑,所以,又,所以平面,
平面,所以平面平面!4分
(2)(i)設(shè)圓柱的底面半徑為,則AB=,
故三棱柱的體積為=,
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823192108996616.gif" style="vertical-align:middle;" />,
所以=,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,
從而,而圓柱的體積,
=當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,
所以的最大值是!8分
(ii)由(i)可知,取最大值時(shí),,于是以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),則C(r,0,0),B(0,r,0),(0,r,2r),
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823192108513245.gif" style="vertical-align:middle;" />平面,所以是平面的一個(gè)法向量,
設(shè)平面的法向量,由,故,
得平面的一個(gè)法向量為,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823192110010352.gif" style="vertical-align:middle;" />,
所以。……………12分
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

(本題滿分12分)
如圖所示,四邊形ABCD為矩形,BC⊥平面ABE,F(xiàn)為CE上的點(diǎn),且BF⊥平面ACE.
(1)求證:AE⊥BE.
(2)設(shè)點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn),點(diǎn)N為線段

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

m和n是分別在兩個(gè)互相垂直的面α、β內(nèi)的兩條直線,α與β交于l,m和n與l既不垂直,也不平行,那么m和n的位置關(guān)系是         (  )
A.可能垂直,但不可能平行B.可能平行,但不可能垂直
C.可能垂直,也可能平行D.既不可能垂直,也不可能平行

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知直線是異面直線,直線分別與都相交,則直線的位置關(guān)系( )
A.可能是平行直線B.一定是異面直線C.可能是相交直線D.平行、相交、異面直線都有可能

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

關(guān)于直線a、bl及平面、,下列命題中正確的是(   )
A.若a∥,b∥,則a∥b
B.若a∥,b⊥a,則b⊥
C.若a,b,且l⊥a,l⊥b,則l⊥
D.若a⊥,a,則

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

由兩個(gè)完全相同的正四棱錐組合而成的空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖相同如右圖所示,且圖中四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形,則該幾何體的體積為(    )
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

用一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形硬紙,按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形,做成一個(gè)蛋巢,半徑為1雞蛋(視為球體)放入 其 中,則雞蛋中心(球心)與蛋巢底面的距離為 (    )
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知射線OP分別與OA、OB都成的角,,則OP與平面AOB所成的角等于(   )
A.       B.       C.       D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,BB1⊥面ABCD,AB=2,BB1= 4,則BB1與平面ACD1所成角的余弦值為      

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