已知頂點(diǎn)在原點(diǎn),坐標(biāo)軸為對稱軸的拋物線的焦點(diǎn)為F(2,0),直線l過點(diǎn)F,且與拋物線交于A,B兩點(diǎn),
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線l的斜率為2,求弦長|AB|;
(3)求證:
1
|AF|
+
1
|BF|
為定值.
分析:(1)由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px,(p>0).由于焦點(diǎn)為F(2,0),可得
p
2
=2
,解得p即可.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).由于直線l的斜率為2且過焦點(diǎn)F(2,0),可得直線l的方程為y=2(x-2),與拋物線方程聯(lián)立可得x2-6x+4=0.利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式即可得出.
(3)利用|AF|=x1+2,|BF|=x2+2,及根與系數(shù)的關(guān)系即可得出.
解答:解:(1)由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px,(p>0).
∵焦點(diǎn)為F(2,0),∴
p
2
=2
,解得p=4.
∴y2=8x.
(2)∵直線l的斜率為2且過焦點(diǎn)F(2,0),
∴直線l的方程為y=2(x-2),即y=2x-4.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
聯(lián)立
y=2x-4
y2=8x
,化為x2-6x+4=0.
∴x1+x2=6,x1x2=4.
∴|AB|=
(1+22)[(x1+x2)2-4x1x2]
=
5(62-4×4)
=10.
(3)證明:∵|AF|=x1+2,|BF|=x2+2.
1
|AF|
+
1
|BF|
=
1
x1+2
+
1
x2+2
=
x1+x2+4
x1x2+2(x1+x2)+4
=
6+4
4+2×6+4
=
1
2
,為定值.
點(diǎn)評:本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、焦點(diǎn)弦問題、弦長公式、求定值問題,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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已知中心在原點(diǎn),長軸在x軸上的橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)是點(diǎn)(0,
5
),離心率為
6
6
,左、右焦點(diǎn)分別為F1和F2
(1)求橢圓方程;
(2)點(diǎn)M在橢圓上,求△MF1F2面積的最大值;
(3)試探究橢圓上是否存在一點(diǎn)P,使
PF1
PF2
=0
,若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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12
,m)
,A點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為1.
(1)求該拋物線的方程;
(2)設(shè)M(x0,y0)為拋物線上的一個(gè)定點(diǎn),過M作拋物線的兩條互相垂直的弦MP,MQ,求證:PQ恒過定點(diǎn)(x0+2,-y0).
(3)直線x+my+1=0與拋物線交于E,F(xiàn)兩點(diǎn),在拋物線上是否存在點(diǎn)N,使得△NEF為以EF為斜邊的直角三角形.

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已知頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=-
1
4
,直線l:y=-x+2,則由拋物線C及直線l所圍成的平面圖形的面積是
9
2
9
2

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