已知中心在原點(diǎn),長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)是點(diǎn)(0,
5
),離心率為
6
6
,左、右焦點(diǎn)分別為F1和F2
(1)求橢圓方程;
(2)點(diǎn)M在橢圓上,求△MF1F2面積的最大值;
(3)試探究橢圓上是否存在一點(diǎn)P,使
PF1
PF2
=0
,若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
分析:(1)由題意設(shè)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)頂點(diǎn)的坐標(biāo)和離心率得b=
5
,e=
c
a
=
6
6
,根據(jù)a2=b2+c2求出a的值,即求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)根據(jù)(1)求出的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,求出點(diǎn)M縱坐標(biāo)的范圍,即求出三角形面積的最大值;
(3)先假設(shè)存在點(diǎn)P滿足條件,根據(jù)向量的數(shù)量積得
PF1
PF2
,根據(jù)橢圓的焦距和橢圓的定義列出兩個(gè)方程,求出S△PF1F2的值,結(jié)合(2)中三角形面積的最大值,判斷出是否存在點(diǎn)P.
解答:解:(1)由題意設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1

由已知得,b=
5
,e=
c
a
=
6
6
.(2分)
e2=
c2
a2
=
a2-b2
a2
=1-
b2
a2
,∴1-
5
a2
=
1
6
.解得a2=6(4分)
∴所求橢圓方程為
x2
6
+
y2
5
=1
(5分)

(2)令M(x1,y1),則S△MF1F2=
1
2
|F1F2|•|y1|=
1
2
•2•|y1|
(7分)
∵點(diǎn)M在橢圓上,∴-
5
y1
5
,故|y1|的最大值為
5
(8分)
∴當(dāng)y1
5
時(shí),S△MF1F2的最大值為
5
.(9分)

(3)假設(shè)存在一點(diǎn)P,使
PF1
PF2
=0
,
PF1
0
,
PF2
0
,∴
PF1
PF2
,(10分)
∴△PF1F2為直角三角形,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4 ①(11分)
又∵|PF1|+|PF2|=2a=2
6
 ②(12分)
∴②2-①,得2|PF1|•|PF2|=20,∴
1
2
|PF1|•|PF2|=5
,(13分)
S△PF1F2=5,由(1)得S△PF1F2最大值為
5
,故矛盾,
∴不存在一點(diǎn)P,使
PF1
PF2
=0
.(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查了橢圓方程的求法以及橢圓的性質(zhì)、向量數(shù)量積的幾何意義,利用a、b、c、e幾何意義和a2=b2+c2求出a和b的值,根據(jù)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)范圍求出相應(yīng)三角形的面積最值,即根據(jù)此范圍判斷點(diǎn)P是否存在,此題綜合性強(qiáng),涉及的知識(shí)多,考查了分析問題和解決問題的能力.
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(1)求橢圓方程;
(2)點(diǎn)M在橢圓上,求△MF1F2面積的最大值;
(3)試探究橢圓上是否存在一點(diǎn)P,使數(shù)學(xué)公式,若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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6
,左、右焦點(diǎn)分別為F1和F2
(1)求橢圓方程;
(2)點(diǎn)M在橢圓上,求△MF1F2面積的最大值;
(3)試探究橢圓上是否存在一點(diǎn)P,使
PF1
PF2
=0
,若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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