Question

2002年底某縣的綠化面積占全縣總面積的40%，從2003年開(kāi)始，計(jì)劃每年將非綠化面積的8%綠化，由于修路和蓋房等用地，原有綠化面積的2%被非綠化．
（1）設(shè)該縣的總面積為1，2002年底綠化面積為a₁=

4

10

，經(jīng)過(guò)n年后綠化的面積為a_n+1，試用a_n表示a_n+1；
（2）求數(shù)列{a_n}的第n+1項(xiàng)a_n+1；
（3）至少需要多少年的努力，才能使綠化率超過(guò)60%．（lg2=0.3010，lg3=0.4771）

Answer 1

分析：（1）當(dāng)年的綠化面積等于上年被非綠化后剩余面積加上新綠化面積，設(shè)出現(xiàn)有非綠化面積和經(jīng)過(guò)n年后的綠化面積，得到兩個(gè)數(shù)列之間的關(guān)系，把組成a_n+1的兩部分寫出來(lái)，得到遞推式．
（2）根據(jù)所給的數(shù)列的遞推式，湊出一個(gè)等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，寫出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)．
（3）由題意知本題需要解a_n+1＞60%，代入數(shù)列 的通項(xiàng)，要求的變量在指數(shù)位置，這種題目一般需要兩邊取對(duì)數(shù)，根據(jù)所給的兩個(gè)特殊的對(duì)數(shù)值，得到結(jié)果，根據(jù)實(shí)際意義得到n的整數(shù)．

解答：解：（1）設(shè)現(xiàn)有非綠化面積為b₁，經(jīng)過(guò)n年后非綠化面積為b_n+1．
于是a₁+b₁=1，a_n+b_n=1．
依題意，a_n+1是由兩部分組成，一部分是原有的綠化面積a_n減去被非綠化部分

2

100

a_n后剩余的面積

98

100

a_n，
另一部分是新綠化的面積

8

100

b_n，于是
a_n+1=

98

100

a_n+

8

100

b_n=

98

100

a_n+

8

100

（1-a_n）
=

9

10

a_n+

2

25

．
（2）a_n+1=

9

10

a_n+

2

25

，a_n+1-

4

5

=

9

10

（a_n-

4

5

）．
數(shù)列{a_n-

4

5

}是公比為

9

10

，首項(xiàng)a₁-

4

5

=

4

10

-

4

5

=-

2

5

的等比數(shù)列．
∴a_n+1=

4

5

+（-

2

5

）（

9

10

）ⁿ．
（3）由題意得到a_n+1＞60%，

4

5

+（-

2

5

）（

9

10

）ⁿ＞

3

5

，（

9

10

）ⁿ＜

1

2

，
n（lg9-1）＜-lg2，
n＞

lg2

1-2lg3

≈6.5720．
至少需要7年，綠化率才能超過(guò)60%．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)，考查由數(shù)列的遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)式，考查解關(guān)于對(duì)數(shù)式的不等式，考查用數(shù)列知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題．