Question

如圖，已知圓E ，點(diǎn)，P是圓E上任意一點(diǎn)．線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q．
（1）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡的方程；
（2）點(diǎn)，，點(diǎn)G是軌跡上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AG與直線相交于點(diǎn)D，試判斷以線段BD為直徑的圓與直線GF的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）點(diǎn)Q的軌跡的方程為為．（2）以線段BD為直徑的圓與直線GF相切．

試題分析：（1）連結(jié)QF，由于線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，所以|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4，根據(jù)橢圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓．由此便可得其方程；（2）直線與圓的位置關(guān)系一般通過比較圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系來確定． 由題意，設(shè)直線AG的方程為，則點(diǎn)D坐標(biāo)為，由此可得圓心和半徑.下面用k表示點(diǎn)G的坐標(biāo)，求出直線GF方程為，進(jìn)而求到圓心到直線GF的距離便可知道以BD為直徑的圓與直線GF的位置關(guān)系．
（1）連結(jié)QF，根據(jù)題意，|QP|＝|QF|，
則|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4，
故Q的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓．             .2分
設(shè)其方程為，可知，，則，         ..3分
所以點(diǎn)Q的軌跡的方程為為． 4分
（2）以線段BD為直徑的圓與直線GF相切． 5分

由題意，設(shè)直線AG的方程為，則點(diǎn)D坐標(biāo)為，BD的中點(diǎn)H的坐標(biāo)為．
聯(lián)立方程組消去y得，
設(shè)，則，
所以，， 7分
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為.
直線GF⊥x軸，此時(shí)以BD為直徑的圓與直線GF相切． 9分
當(dāng)時(shí)，則直線GF的斜率為，則直線GF方程為，
點(diǎn)H到直線GF的距離，又，
所以圓心H到直線GF的距離，此時(shí)，以BD為直徑的圓與直線GF相切．
綜上所述，以線段BD為直徑的圓與直線GF相切． 13分