設(shè)f(x)=
1+ax
1-ax
且a≠1),函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)圖象關(guān)于直線x-y=0對稱.
(1)求函數(shù)y=g(x)的解析式及定義域;
(2)設(shè)關(guān)于x的方程loga
t
(x2-1)(7-x)
=g(x)
在[2,6]上有實(shí)數(shù)解,求t的取值范圍;
(3)當(dāng)a=e(e為自然對數(shù)的底數(shù))時(shí),證明:
n
k=2
g(k)>
2-n-n2
2n•(n+1)
分析:(1)函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)圖象關(guān)于直線x-y=0對稱,說明函數(shù)y=g(x)與函數(shù)y=f(x)互為反函數(shù).可以根據(jù)函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式解出x=f-1(y),再將xy互換,可得函數(shù)y=g(x)的解析式,根據(jù)真數(shù)大于0,得出其定義域;
(2)根據(jù)(1)的表達(dá)式,可以將原方程轉(zhuǎn)化為:
t
(x2-1)(7-x)
=
x+1
x-1
,在x∈[2,6]時(shí)有解.將此等式整理,得t=(x-1)2(7-x),利用求導(dǎo)數(shù)的方法,列表得出t關(guān)于x函數(shù)的單調(diào)性,從而得出t在x∈[2,6]時(shí)的值域,即可求出原方程有解時(shí)的t的取值范圍;
(3)結(jié)合(1)的表達(dá)式得,g(k)=ln
k+1
k-1
,利用對數(shù)的基本性質(zhì)將不等式左邊合并化簡為ln
n(n+1)
2
,當(dāng)n≥2時(shí)不等式的左邊恒大于0,而不難得出不等式的右邊為
(1-n)(2+n)
2n•(n+1)
≤0,在n≥2時(shí)恒成立.故原不等式成立.
解答:解:(1)由題意,得函數(shù)所以由f(x)=
1+ax
1-ax
解出x,得x=loga
y+1
y-1

所以函數(shù)y=g(x)=loga
x+1
x-1
(a>0且a≠1)
x+1
x-1
>0
,得定義域?yàn)椋海?∞,-1)(1,+∞);
(2)原方程變?yōu)椋?span id="lvz0dl5" class="MathJye">loga
t
(x2-1)(7-x)
=loga
x+1
x-1

等價(jià)于:
t
(x2-1)(7-x)
=
x+1
x-1
,x∈[2,6]
整理,得t=(x-1)2(7-x),其中2≤x≤6
求導(dǎo)可得:t′(x)=-3x2+18x-15=-3(x-1)(x-5)
列表:
x 2 (2,5) 5 (5,6) 6
t′(x) 9 + 0 - 15
t(x) 5 極大值32 25
由表格得,當(dāng)x=5時(shí)函數(shù)t(x)取最大值32,當(dāng)x=2時(shí),t(x)取最小值5
因?yàn)樵匠淘赱2,6]上有實(shí)數(shù)解,所以t的取值范圍為:[5,32];
(3)a=e,結(jié)合(1)得,g(k)=loge
k+1
k-1
=ln
k+1
k-1

所以
n
k=2
g(k)
=ln
3
1
+ln
4
2
+ln
5
3
+…+ln
n-1
n-3
+ln
n
n-2
+ln
n+1
n-1

=ln(
3
1
×
4
2
×
5
3
…×
n-1
n-3
×
n
n-2
×
n+1
n-1
)
=ln
n(n+1)
2

原不等式等價(jià)于:ln
n(n+1)
2
2-n-n2
2n•(n+1)

先看左邊,在n≥2時(shí)ln
n(n+1)
2
≥ln3>0

注意到右邊為
2-n-n2
2n•(n+1)
=
(1-n)(2+n)
2n•(n+1)
≤0,在n≥2時(shí)恒成立
所以左邊大于右邊,
故不等式
n
k=2
g(k)>
2-n-n2
2n•(n+1)
成立
點(diǎn)評:本題考查了反函數(shù)的解析式的求法、函數(shù)與方程以及不等式的證明等知識點(diǎn),屬于中檔題.解題過程中用到了導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性和含有對數(shù)的不等式的處理,是一道綜合性較強(qiáng)的題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)=x2+ax+b,求證:||f(1)|,|f(2)||f(3)|中至少有一個(gè)不小于
12

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f (x)、g(x)都是定義在R上的函數(shù),如果存在實(shí)數(shù)m、n使得h (x)=m f(x)+ng(x),那么稱h (x)為f (x)、g(x)在R上生成的一個(gè)函數(shù).設(shè)f (x)=x2+ax,g(x)=x+b(a,b∈R),l(x)=2x2+3x-1,h (x)為f (x)、g(x)在R上生成的一個(gè)二次函數(shù).
(Ⅰ)設(shè)a=1,b=2,若h (x)為偶函數(shù),求h(
2
)
;
(Ⅱ)設(shè)b>0,若h (x)同時(shí)也是g(x)、l(x)在R上生成的一個(gè)函數(shù),求a+b的最小值;
(Ⅲ)試判斷h(x)能否為任意的一個(gè)二次函數(shù),并證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)=x2+ax+b,集合A={x|f(x)=x}
(1)若3∈A,求f(f(3))的值;
(2)若A={a},求a,b的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)=ln|ax-1|的圖象的一條對稱軸為x=3,則非零實(shí)數(shù)a的值為
1
3
1
3

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案