Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中，.

（1）若，求的極值；

（2）若曲線與直線有三個(gè)互異的公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）極大值為，極小值為；（2）

【解析】

（1）把代入后求導(dǎo)，判斷的單調(diào)性，進(jìn)而可以求得極值；

（2）將公共點(diǎn)轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)定理即可求出的取值范圍.

（1）當(dāng)時(shí)，，

，

令，解得，或；

當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表；

	+	0	﹣	0	+
	單調(diào)增	極大值	單調(diào)減	極小值	單調(diào)增

∴的極大值為，

極小值為；

（2）由題意，曲線與直線有三個(gè)互異的公共點(diǎn)，

可轉(zhuǎn)化為

令，可得；

設(shè)函數(shù)，

即函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)；

，

當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞增，不合題意

當(dāng)時(shí)，令，解得，；

，解得，或，

，解得，

∴在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

∴的極大值為；

極小值為

若，由的單調(diào)性可知，函數(shù)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意；

若，即，解得

此時(shí)，，

，

從而由零點(diǎn)定理知，

在區(qū)間，，內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意；

∴的取值范圍是.