Question

【題目】對于定義域為的函數(shù)，若同時滿足下列條件：①在內(nèi)有單調(diào)性；②存在區(qū)間，使在區(qū)間上的值域也為，則稱為上的精彩函數(shù)，為函數(shù)的精彩區(qū)間．

（1）求精彩區(qū)間符合條件的精彩區(qū)間；

（2）判斷函數(shù)是否為精彩函數(shù)？并說明理由．

（3）若函數(shù)是精彩函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1),,;(2)不是精彩函數(shù),證明見解析;(3).

【解析】

(1)由精彩函數(shù)的定義,建立等量關(guān)系,即可求得符合條件的精彩區(qū)間;

(2)判斷函數(shù)是否滿足精彩函數(shù)的條件即可.

(3)由函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增,然后由有兩個不等的實數(shù)解,轉(zhuǎn)化為利用根的判別式求解的取值范圍.

(1)由函數(shù)在定義域上為增函數(shù),則由題意可得,解得,所以函數(shù)符合條件的精彩區(qū)間有:,,.

(2)不是精彩函數(shù),證明如下:

由函數(shù)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(2,+)上單調(diào)遞增,可得函數(shù)在定義域(0,+)上不單調(diào),即不滿足精彩函數(shù)的第一個條件,所以函數(shù)不是精彩函數(shù).

(3)由函數(shù)定義域為,且易知函數(shù)在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù),

因函數(shù)是精彩函數(shù),則需有兩個不等的實數(shù)解,即方程有兩個不等的實數(shù)根設(shè)為,且,, ,

則令,

由題意得:,

聯(lián)立解得