Question

設(shè)關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+1=0
（Ⅰ）設(shè)a和b分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)，求上述方程沒有實(shí)根的概率；
（Ⅱ）若a是從區(qū)間（0，3）內(nèi)任取的一個(gè)數(shù)，b=2，求上述方程沒有實(shí)根的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知是36，滿足條件的事件：方程無實(shí)根，則△=b²-4a＜0即b²＜4a，通過列舉法得到所包含的基本事件個(gè)數(shù)，利用古典概型的概率公式求出值；
（Ⅱ）全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|0≤a≤3，b=2}，其長度d=3，又構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|0≤a≤3，b=2，b²＜4a}，其長度為d′=2，由此能求出方程有實(shí)根的概率

解答：解：（1）基本事件總數(shù)為：6×6=36
若方程無實(shí)根，則△=b²-4a＜0即b²＜4a
若a=1，則b=1，
若a=2，則b=1，2
若a=3，則b=1，2，3
若a=4，則b=1，2，3
若a=5，則b=1，2，3，4
若a=6，則b=1，2，3，4
∴目標(biāo)事件個(gè)數(shù)為1+2+3+3+4+4=17
因此方程ax²+bx+1=0沒有實(shí)根的概率為

17

36

；
（2）全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|0≤a≤3，b=2}，其長度d=3，
又構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|0≤a≤3，b=2，b²＜4a}={（a，b）|1＜a≤3，b=2}，其長度為d′=2，
所以P(A)=

2

3

．

點(diǎn)評：本題考查古典概率及其運(yùn)算公式以及幾何概型，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．