Question

【題目】已知圓M的圓心M在y軸上，半徑為1．直線(xiàn)l：y=2x+2被圓M所截得的弦長(zhǎng)為 ，且圓心M在直線(xiàn)l的下方．
（1）求圓M的方程；
（2）設(shè)A（t，0），B（t+5，0）（﹣4≤t≤﹣1），若AC，BC是圓M的切線(xiàn)，求△ABC面積的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)M（0，b）由題設(shè)知，M到直線(xiàn)l的距離是 =

所以 = ，解得b=1或b=3

因?yàn)閳A心M在直線(xiàn)l的下方，所以b=1，

即所求圓M的方程為x2+（y﹣1）2=1

（2）解：當(dāng)直線(xiàn)AC，BC的斜率都存在，即﹣4＜t＜﹣1時(shí)

直線(xiàn)AC的斜率kAC=tan2∠MAO= = ，

同理直線(xiàn)BC的斜率kBC=

所以直線(xiàn)AC的方程為y= （x﹣t），

直線(xiàn)BC的方程為y= （x﹣t﹣5）

解方程組

得x= ，y=

所以y= =2﹣

因?yàn)椹?≤t≤﹣1

所以﹣ ≤t2+5t+1＜﹣3

所以 ≤y＜ ．

故當(dāng)t=﹣ 時(shí)，△ABC的面積取最小值 ×5× = ．

當(dāng)直線(xiàn)AC，BC的斜率有一個(gè)不存在時(shí)，即t=﹣4或t=﹣1時(shí)，易求得△ABC的面積為 ．

綜上，當(dāng)t=﹣ 時(shí)，△ABC的面積的最小值為 ．

【解析】（1）先設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)，再根據(jù)弦長(zhǎng)可得點(diǎn)M到直線(xiàn)l的距離，進(jìn)而可得b的值，從而可得圓M的方程；（2）當(dāng)直線(xiàn)AC，BC的斜率都存在時(shí)，由已知條件可得直線(xiàn)AC和直線(xiàn)BC的方程，解方程組可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而可得△ABC面積，從而可得△ABC面積的最小值，當(dāng)直線(xiàn)AC，BC的斜率有一個(gè)不存在時(shí)，易得△ABC面積，綜上所述，可得△ABC的面積的最小值．