Question

如圖,在棱長為1的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中,P、M、N分別為棱DD₁、AB、BC的中點.

(1)求二面角B₁MNB的正切值;

(2)證明PB⊥平面MNB₁;

(3)(理)畫出此正方體的一個表面展開圖,使其滿足“有4個正方形面相連成一個長方形”的條件，并求出展開圖中P、B兩點間的距離.

Answer 1

(1)解：如圖,連結(jié)BD交MN于F,則BF⊥MN,連結(jié)B₁F.

∵B₁B⊥平面ABCD,∴B₁F⊥MN.則∠B₁FB為二面角B₁MNB的平面角.

在Rt△B₁FB中,設(shè)B₁B=1,則FB=,

∴tan∠B₁FB=.

 (2)證明:過點P作PE⊥AA₁于E,則PE∥DA,連結(jié)BE.∵DA⊥平面ABB₁A₁,∴PE⊥平面ABB₁A₁.又BE⊥B₁M,∴PB⊥MB₁.

又MN∥AC,BD⊥AC,∴BD⊥MN.又PD⊥平面ABCD,∴PB⊥MN.

∴PB⊥平面MNB₁.

(3)(理)解：PB=.

符合條件的正方體表面展開圖可以是以下6種之一(只要畫出其中之一即可):