Question

如圖，一棱長為2的正四面體O-ABC的頂點(diǎn)O在平面α內(nèi)，底面ABC平行于平面α，平面OBC與平面α的交線為l．
（1）當(dāng)平面OBC繞l順時(shí)針旋轉(zhuǎn)與平面α第一次重合時(shí)，求平面OBC轉(zhuǎn)過角的正弦
值．
（2）在上述旋轉(zhuǎn)過程中，△OBC在平面α上的投影為等腰△OB₁C₁（如圖1），B₁C₁的中點(diǎn)為O₁．當(dāng)AO⊥平面α?xí)r，問在線段OA上是否存在一點(diǎn)P，使O₁P⊥OBC？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）要求平面OBC轉(zhuǎn)過角，即求平面OBC與平面α所成的角度，可轉(zhuǎn)化為求平面ABC與平面COB所成的角；在四面體中，取BC中點(diǎn)為E，連接AE，EO，則BC⊥AE，BC⊥EO，∠AEO即為所求的轉(zhuǎn)動(dòng)角；根據(jù)AE=EO=

3

，AO=2，即可求出∠AEO
（2）法一：設(shè)A在平面OBC上射影為G，若O₁P⊥平面OBC，則O₁P∥AG，設(shè)O₁P交OE于H，則由OH：OO₁=OO₁：OE，可求得OH=OG
故H與G重合時(shí)，O₁P⊥平面OBC．
法二：以O(shè)₁為原點(diǎn)，分別以O(shè)₁C₁、O₁O、O₁E所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P(0，

2

，z)
則由

BC

⊥

O1

P   ，

OC

⊥

O1P

可求z，H與G重合時(shí)，O₁P⊥平面OBC．

解答：解：（1）∵平面ABC∥平面α
平面ABC∩平面COB=BC
取BC中點(diǎn)為E，連接AE，EO，則BC⊥AE，BC⊥EO．
故∠AEO即為所求的轉(zhuǎn)動(dòng)角
在正四面體中，AE=EO=

3

，AO=2，
所以：COS∠AEO=

AE2+EO2-AO2

2AE•EO

=

1

3

．
∴sin∠EOF=

2 2

3

．
故所求轉(zhuǎn)過角的正弦值為

2 2

3

（2）解法一：在Rt△OBB₁中，OB=2BB₁，
故BB₁=O₁E=1，AE=OE=

3

，OO1=

2

．設(shè)A在平面OBC上射影為G，
若O₁P⊥平面OBC，則O₁P∥AG，
設(shè)O₁P交OE于H，OH：OO₁=OO₁：OE，
得OH=

2 3

3

，又OG=

2 3

3

，
故H與G重合時(shí)，O₁P⊥平面OBC．
解法二：以O(shè)₁為原點(diǎn)，分別以O(shè)₁C₁、O₁O、O₁E所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則O(0，

2

，0)，C（1，0，1），B（-1，0，1），A(0，

2

，2)，
設(shè)P(0，

2

，z)
則

OC

=(1，-

2

，1)，

O1P

=(0，

2

，z)，

BC

=(2，0，0)

BC

⊥

O1

P   ，

OC

⊥

O1P

得z=2．…（13分）
故H與G重合時(shí)，O₁P⊥平面OBC．

點(diǎn)評：本題主要考查了二面角得平面角得求解，直線與平面垂直的性質(zhì)定理得應(yīng)用，要注意向量法在解題中應(yīng)用．