Question

（重點(diǎn)中學(xué)學(xué)生做）對(duì)于曲線x²+xy+y²=1有以下判斷：（1）它表示圓；（2）它關(guān)于兩坐標(biāo)軸對(duì)稱；（3）它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；（4）|x|≤1，|y|≤1．其中正確的有

（3）

（填上相應(yīng)的序號(hào)即可）．

Answer 1

分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換知，曲線x²+xy+y²=1經(jīng)過圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45度即可得到一個(gè)橢圓，如圖，結(jié)合其圖形，從而解決問題．

解答：解：曲線x²+xy+y²=1經(jīng)過圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45度即可得到一個(gè)焦點(diǎn)在y軸的橢圓，如圖，結(jié)合其圖形及方程，得：
在原方程中，同時(shí)將 x 換成-x，且將 y 換成-y，方程不變，就說明曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
在原方程中，將 x 換成-x，方程有改變，因此曲線關(guān)于y軸不對(duì)稱，
同理，將 y 換成-y，方程也有改變，因此曲線關(guān)于x軸不對(duì)稱．
由圖可得存在x，y，使得：|x|＞1，|y|＞1．
故答案為：（3）．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的圖象、二元二次方程表示圓的條件、曲線的對(duì)稱性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．屬于基礎(chǔ)題．