如圖所示的四棱錐，SD垂直于正方形ABCD所在的底面，AB=1，SB=
3
．
（1）求證：BC⊥SC；
（2）求SB與底面ABCD所成角的正切值；
（3）設棱SA的中點為M，求異面直線DM與SC所成角的大�。�
分析：（1）以D為坐標原點建立直角坐標系，用坐標分別表示
BC
=(-1，0，0)，
SC
=(0，1，-1)，從而可得其數(shù)量積為0，故得證；
（2）用坐標表示
DS
=(0，0，1)，
BS
=(-1，-1，1)，進而可求夾角，由此可求SB與底面ABCD所成角的正切值；
（3）用坐標表示
DM
=（
2
2
，0，
2
2
），
SC
=(0，1，-1)，進而可求異面直線DM與SC所成角
解答：解：如圖所示，以D為坐標原點建立直角坐標系，
則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），M（
2
2
，0，
2
2
），S（0，0，1）
（1）∵
BC
=(-1，0，0)，
SC
=(0，1，-1)
∴
BC
•
SC
=0
∴BC⊥SC；
（2）∵
DS
=(0，0，1)，
BS
=(-1，-1，1)
∴cos＜
DS
，
BS
＞=
1
3

∴SB與底面ABCD所成角的正切值為
2
2
；
（3）
DM
=（
2
2
，0，
2
2
），
SC
=(0，1，-1)
∴cos＜
DM
，
CS
＞=
2
2
2
=
1
2

∴異面直線DM與SC所成角為30°
點評：本題以四棱錐為載體，考查空間向量，考查線線垂直，考查線面角，考查線線垂直，關鍵是構建空間直角坐標系．
練習冊系列答案
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12
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（1）當H為SD中點時，求證：AH∥平面SBC；平面SBC⊥平面SCD．
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如圖所示，四棱錐S-ABCD中，AB∥CD，CD⊥面SAD．且 ．
（1）當H為SD中點時，求證：AH∥平面SBC；平面SBC⊥平面SCD．
（2）求點D到平面SBC的距離．

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