Question

在數(shù)列{a_n}中a₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n，S_n，S_n-

1

2

成等比數(shù)列．
（1）證明：數(shù)列{

1

Sn

}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{

1

(1-2n)an

}前n項(xiàng)的和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用遞推公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

代入已知條件中，可得S_n與S_n-1的關(guān)系，
要證明數(shù)列{

1

Sn

}為等差數(shù)列，由定義只需證明

1

Sn

-

1

Sn-1

為常數(shù)d
（2）由（1）可求S_n及a_n，從而求出數(shù)列{

1

(1-2n)an

}的通項(xiàng)，，然后利用等差數(shù)列的和求出T_n

解答：解：（1）∵an，Sn，Sn-

1

2

成等比數(shù)列，
∴Sn2=an•(Sn-

1

2

)(n≥2)，
∴Sn2=(Sn-Sn-1)(Sn-

1

2

)∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2
又∴{

1

Sn

}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．（4分）
又（2）由（1）知

1

Sn

=2n-1，∴Sn=

1

2n-1

，
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=

1

2n-1

-

1

2n-3

=

2

(2n-1)(2n-3)

又∴an=

1(n=1) - 2 (2n-3)(2n-1) (n＞1)

又當(dāng)n≥2時(shí)，

1

(1-2n)an

=

2n-3

2

又當(dāng)n=1時(shí)，T_n=-1滿足上式，∴Tn=-1+

(n-1)2

2

(n∈N*)（14分）

點(diǎn)評(píng)：等差數(shù)列與等比數(shù)列是高考中所考查的數(shù)列試題的基本類型，此試題主要考查利用等差數(shù)列的定義證明等差數(shù)列，還要注意構(gòu)造特殊數(shù)列的方法；另外，由遞推公式求通項(xiàng)的應(yīng)用也是本題的一個(gè)重點(diǎn)，求解中要注意應(yīng)用定義，靈活構(gòu)造．