Question

如圖四邊形ABEF是等腰梯形，AB∥EF，AF=BE=2，EF=4

2

，AB=2

2

，ABCD是矩形．AD⊥面ABEF．Q、M分別是AC，EF的中點，P是BM中點．
（Ⅰ）求證：PQ∥平面BCE；
（Ⅱ）求證：AM⊥平面BCM．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）根據(jù)M為EF中點，EF=4

2

，進而可知EM，進而可知AB∥EM，AB=EM，推斷出四邊形ABEM為平行四邊形，連接AE，根據(jù)P是BM中點，推斷出P是AE的中點，Q為AC中點，推斷出在△AEC中，PQ∥EC，進而利用線面平行判定定理推斷出PQ∥平面BCE．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：AM=BE=2，同理可得：BM=AF=2，又AB=2

2

，推斷出AB²=AM²+BM²，進而可知AM⊥BM，根據(jù)四邊形ABCD為矩形，推斷出BC∥AD，又AD⊥平面ABEF，推斷出BC⊥平面ABEF，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知BC⊥AM，利用線面垂直的判定定理推斷出AM⊥平面BCM．

解答： 解：（Ⅰ）∵M為EF中點，EF=4

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，
∴EM=2

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，
∴AB∥EM，AB=EM，
∴四邊形ABEM為平行四邊形，
連接AE，
∵P是BM中點，
∴P是AE的中點，
∵Q為AC中點，
∴在△AEC中，PQ∥EC，
∵PQ?平面BCE，
∴PQ∥平面BCE．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：AM=BE=2，
同理可得：BM=AF=2，
又AB=2

2

，
∴AB²=AM²+BM²，
∴AM⊥BM，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴BC∥AD，
又AD⊥平面ABEF，
∴BC⊥平面ABEF，
∴BC⊥AM，
又BC∩BM=B，
∴AM⊥平面BCM．

點評：本題主要考查了線面平行和線面垂直的判定定理的應(yīng)用．要求學(xué)生對基本定理和性質(zhì)熟練記憶．