Question

設(shè)曲線y=e^-x（x≥0）在點(diǎn)M（t，c^-1c）處的切線l與x軸y軸所圍成的三角表面積為S（t）．
（Ⅰ）求切線l的方程；
（Ⅱ）求S（t）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即為點(diǎn)的斜率，對函數(shù)y=e^-x（x≥0）在點(diǎn)M（t，c^-1c）進(jìn)行求導(dǎo)，然后根據(jù)電斜式求出切線方程；
（Ⅱ）根據(jù)三角形面積公式用t表示出S（t），然后由題意先對函數(shù)S進(jìn)行求導(dǎo)，解出極值點(diǎn)，然后再根據(jù)函數(shù)的定義域，
把極值點(diǎn)代入已知函數(shù)，從而求解．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閒'（x）=（e^-x）'=-e^-x，
所以切線l的斜率為-e^-1，
故切線l的方程為y-e^-t=-e^-t（x-t）．
即e^-tx+y-e^-1（t+1）=0
（Ⅱ）令y=0得x=t+1，
又令x=0得y=e^-t（t+1）
所以S（t）=

1

2

(t+1)•e-1(t+1)
=

1

2

(t+1)2e-1
從而S′(t)=

1

2

e-1(1-t)(1+t).
∵當(dāng)t∈（0，1）時(shí)，S'（t）＞0，
當(dāng)t∈（1，+∞）時(shí)，S'（t）＜0，
所以S（t）的最大值為S（1）=

2

e

．

點(diǎn)評：此題主要還是考查導(dǎo)數(shù)的定義及利用導(dǎo)數(shù)來求區(qū)間函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析和解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是求導(dǎo)要精確．