Question

如圖，設曲線y=e^-x（x≥0）在點M（t，e^-t）處的切線l與x軸y軸所圍成的三角形面積為S（t），求：
（1）切線l的方程；
（2）求證S(t)≤

2

e

．

Answer 1

分析：（1）先求切線斜率，進而可求切線方程；
（2）根據曲線y=e^-x（x≥0）在點M（t，e^-t）處的切線l與x軸y軸所圍成的三角形面積為S（t），表示出S（t），再用導數法求解．

解答：解：（1）∵f′（x）=（e^-x）′=-e^-x，∴切線l的斜率為-e^-t
故切線l的方程為y-e^-t=-e^-t（x-t），即e^-tx+y-e^-t（t+1）=0
（2）證明：令y=0得x=t+1，又令x=0得y=e^-t（t+1），
∴S(t)=

1

2

(t+1)•e-t(t+1)=

1

2

(t+1)2e-t
從而S′(t)=

1

2

e-t(1-t)(1+t)．
∵當t∈（0，1）時，S′（t）＞0，當t∈（1，+∞）時，S′（t）＜0，
∴S（t）的最大值為S(1)=

2

e

，即S(t)≤

2

e

點評：應用導數法求函數的最值，并結合函數圖象，可快速獲解，也充分體現了求導法在證明不等式中的優(yōu)越性．