本題滿分15分)如圖, 在矩形中,點(diǎn)分別

在線段上,.沿直線

翻折成,使平面. 

(Ⅰ)求二面角的余弦值;

(Ⅱ)點(diǎn)分別在線段上,若沿直線將四

邊形向上翻折,使重合,求線段

的長。

 

【答案】

【解析】(Ⅰ)解:取線段EF的中點(diǎn)H,連結(jié),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052022515521878942/SYS201205202254171250252265_DA.files/image005.png">=及H是EF的中點(diǎn),所以,

又因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052022515521878942/SYS201205202254171250252265_DA.files/image008.png">平面.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz

(2,2,),C(10,8,0),

F(4,0,0),D(10,0,0).   

=(-2,2,2),=(6,0,0).

設(shè)=(x,y,z)為平面的一個(gè)法向量,

       -2x+2y+2z=0

所以

       6x=0.

 

,則。

又平面的一個(gè)法向量

。

所以二面角的余弦值為

(Ⅱ)解:設(shè),

     因?yàn)榉酆螅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052022515521878942/SYS201205202254171250252265_DA.files/image025.png">與重合,所以,

     故, ,得,

     經(jīng)檢驗(yàn),此時(shí)點(diǎn)在線段上,

所以。

方法二:

(Ⅰ)解:取線段的中點(diǎn),的中點(diǎn),連結(jié)

      因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052022515521878942/SYS201205202254171250252265_DA.files/image038.png">=的中點(diǎn),

所以

又因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052022515521878942/SYS201205202254171250252265_DA.files/image041.png">平面,

所以平面,

平面,

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052022515521878942/SYS201205202254171250252265_DA.files/image036.png">、、的中點(diǎn),

易知,

所以,

于是,

所以為二面角的平面角,

中,==2,=

所以.

故二面角的余弦值為

(Ⅱ)解:設(shè),

         因?yàn)榉酆螅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052022515521878942/SYS201205202254171250252265_DA.files/image025.png">與重合,

所以,

          而

 

,

經(jīng)檢驗(yàn),此時(shí)點(diǎn)在線段上,

所以。

 

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   (I)求二面角的余弦值;

(II)點(diǎn)M,N分別在線段FD,BC上,若沿直線MN將四邊形MNCD向上翻折,使C

重合,求線段FM的長.

 

 

 

 

 

 

 

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