(本題滿分15分)如圖,在四棱錐中,底面是矩形,平面,與平面所成角的正切值依次是,依次是的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證:;

(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.

 

【答案】

(1)見解析;(2)直線與平面所成角的正弦值為

【解析】本試題主要是考查了面面垂直和線面角的求解的綜合運(yùn)用。

(1)第一問中要證明面面垂直關(guān)鍵是證明線面垂直,然后利用判定定理得到。

(2)第二問先根據(jù)線面角的定義,作出線面角,然后利用直角三角形的邊角的關(guān)系求解的得到。

解:(1)∵與平面所成角的正切值依次

,

平面,底面是矩形

平面   ∴

的中點(diǎn)    ∴

         …………………………7分

(2)解法一:∵平面,∴,又,

平面,取中點(diǎn),中點(diǎn),聯(lián)結(jié)

,是平行四邊形,

即為直線與平面所成的角.  在中,, ,

∴直線與平面所成角的正弦值為

解法二:分別以軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,依題意,,則各點(diǎn)坐標(biāo)分別是

,,,

,∴,,

又∵平面,

∴平面的法向量為,

設(shè)直線與平面所成的角為,則

,         

∴直線與平面所成角的正弦值為.    …………………………15分

解:(1)∵與平面所成角的正切值依次

,

平面,底面是矩形

平面   ∴

的中點(diǎn)    ∴

         …………………………7分

(2)解法一:∵平面,∴,又,

平面,取中點(diǎn)中點(diǎn),聯(lián)結(jié)

,是平行四邊形,

即為直線與平面所成的角.  在中,,

,

∴直線與平面所成角的正弦值為

解法二:分別以軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,依題意,,則各點(diǎn)坐標(biāo)分別是

,,,

,∴,,,

又∵平面,

∴平面的法向量為

設(shè)直線與平面所成的角為,則

,         

∴直線與平面所成角的正弦值為.    …………………………15分

 

練習(xí)冊系列答案
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(本題滿分15分)如圖△ABC為直角三角形,點(diǎn)M在y軸上,且,點(diǎn)C在x軸上移動, (I)求點(diǎn)B的軌跡E的方程;(II)過點(diǎn)的直線l與曲線E交于P、Q兩點(diǎn),

設(shè)的夾角為

的取值范圍;   (III)設(shè)以點(diǎn)N(0,m)為圓心,以

半徑的圓與曲線E在第一象限的交點(diǎn)H,若圓在點(diǎn)H處的

切線與曲線E在點(diǎn)H處的切線互相垂直,求實(shí)數(shù)m的值。

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(本題滿分15分)如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在線段AB,AD上,AE=EB=AF=沿直線EF將翻折成使平面平面BEF.

   (I)求二面角的余弦值;

(II)點(diǎn)M,N分別在線段FD,BC上,若沿直線MN將四邊形MNCD向上翻折,使C

重合,求線段FM的長.

 

 

 

 

 

 

 

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本題滿分15分)如圖, 在矩形中,點(diǎn)分別

在線段上,.沿直線

翻折成,使平面. 

(Ⅰ)求二面角的余弦值;

(Ⅱ)點(diǎn)分別在線段上,若沿直線將四

邊形向上翻折,使重合,求線段

的長。

 

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