Question

設(shè)a＞0，如圖，已知直線l：y=ax及曲線C：y=x²，C上的點(diǎn)Q₁的橫坐標(biāo)為a₁（0＜a₁＜a）．從C上的點(diǎn)Q_n（n≥1）作直線平行于x軸，交直線l于點(diǎn)P_n+1，再從點(diǎn)P_n+1作直線平行于y軸，交曲線C于點(diǎn)Q_n+1．Q_n（n=1，2，3，…）的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{a_n}．
（Ⅰ）試求a_n+1與a_n的關(guān)系，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）當(dāng)時，證明；
（Ⅲ）當(dāng)a=1時，證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)Q_n，P_n+1，Q_n+1的坐標(biāo)進(jìn)而求得，進(jìn)而通過公式法求得{a_n}的通項(xiàng)公式．

（2）把a(bǔ)=1代入，根據(jù)可推斷，由于當(dāng)k≥1時，．進(jìn)而可知．

（3）由（Ⅰ）知，當(dāng)a=1時，代入中，進(jìn)而根據(jù)證明原式．
解答：（Ⅰ）解：∵．
∴，
∴
=
=，
∴．

（Ⅱ）證明：由a=1知a_n+1=a_n²，
∵，∴．
∵當(dāng)k≥1時，．
∴；
（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知，當(dāng)a=1時，，
因此
==．
點(diǎn)評：本小題主要考查二次函數(shù)、數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力，