Question

已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)是F₁(-3,0),一條漸近線的方程是x-2y=0.

(1)求雙曲線C的方程;

(2)若以k(k≠0)為斜率的直線l與雙曲線C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M,N且線段MN的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為,求k的取值范圍.

Answer 1

（1）=1（2）k的取值范圍是(-∞,- )∪(-,0)∪(0, )∪(,+∞)

解析:

（1）設(shè)雙曲線C的方程為=1（a＞0,b＞0）.

由題設(shè)得    解得

所以雙曲線C的方程為=1.

（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m (k≠0).

點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）的坐標(biāo)滿足方程組

① ②

                             

將①式代入②式，得-=1,整理得

(5-4k²)x²-8kmx-4m²-20=0.

此方程有兩個(gè)不等實(shí)根，于是5-4k²≠0,且

Δ=(-8km)²+4(5-4k²)(4m²+20)＞0,

整理得m²+5-4k²＞0.                                       ③

由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)（x₀,y₀）滿足x₀==,y₀=kx₀+m=.

從而線段MN的垂直平分線的方程為y-.

此直線與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為,.

由題設(shè)可得·=.整理得m²=,k≠0.

將上式代入③式得+5-4k²＞0,

整理得(4k²-5)(4k²-|k|-5)＞0,k≠0.

解得0＜|k|＜或|k|＞.

所以k的取值范圍是(-∞,- )∪(-,0)∪(0, )∪(,+∞).