【題目】如圖所示的幾何體是由棱臺(tái)ABC﹣A1B1C1和棱錐D﹣AA1C1C拼接而成的組合體,其底面四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形,且∠BAD=60°,BB1⊥平面ABCD,BB1=2A1B1=2.
(Ⅰ)求證:平面AB1C⊥平面BB1D;
(Ⅱ)求二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值.

【答案】(Ⅰ)證明:∵BB1⊥平面ABCD,∴BB1⊥AC, ∵ABCD是菱形,∴BD⊥AC,
又BD∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1D,
∵AC平面AB1C,∴平面AB1C⊥平面BB1D;
(Ⅱ)設(shè)BD、AC交于點(diǎn)O,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)A為x軸,以O(shè)D為y軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.
, , ,
,
設(shè)平面A1BD的法向量 ,
,取z= ,得
設(shè)平面DCF的法向量 ,
,取z= ,得
設(shè)二面角A1﹣BD﹣C1為θ,


【解析】(Ⅰ)由BB1⊥平面ABCD,得BB1⊥AC,再由ABCD是菱形,得BD⊥AC,由線面垂直的判定可得AC⊥平面BB1D,進(jìn)一步得到平面AB1C⊥平面BB1D;(Ⅱ)設(shè)BD、AC交于點(diǎn)O,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)A為x軸,以O(shè)D為y軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.求出所用點(diǎn)的坐標(biāo),得到平面A1BD與平面DCF的法向量,由兩法向量所成角的余弦值可得二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直.

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A.(﹣∞,1]
B.
C.[1,+∞)
D.

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A.v=vx+ai
B.v=v(x+ai
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A.[ ]
B.[ ,
C.( ]
D.[ ,

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