Question

在幾何體ABCDE中，∠BAC=

π

2

，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，AB=AC=BE=2，CD=1．
（Ⅰ）設F為BC的中點，求證：平面AFD⊥平面AFE；
（Ⅱ）設平面ABE與平面ACD的交線為直線l，求證：l∥平面BCDE；
（Ⅲ）求幾何體ABCDE的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面所成的角

專題：計算題,證明題,空間位置關系與距離

分析：（1）根據(jù)DC⊥平面ABC推斷出DC⊥AF，同時利用AB=AC，F(xiàn)是BC的中點推斷出AF⊥BC，AF⊥平面BCDE進而利用直線與平面垂直的性質可知AF⊥DF，AF⊥EF進而可推斷出∠DFE是面AFD和面AFE所成二面角的平面角，利用勾股定理可推斷出FD⊥FE，推斷出∠DFE=90°，進而證明出平面AFD⊥平面AFE．
（2）根據(jù)DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC判斷出DC∥EB，進而利用直線與平面平行的判斷定理可知DC∥平面ABE，利用直線與平面平行的性質可推斷出DC∥l，進而可推斷出l∥平面BCDE．
（3）幾何體ABCDE的體積，即四棱錐A-BCDE的體積，其底面是一個直角梯形，高為AF，代入體積公式可得答案．

解答： （1）證明：∵DC⊥平面ABC，
∴DC⊥AF，
∵AB=AC，F(xiàn)是BC的中點，
∴AF⊥BC，AF⊥平面BCDE，
∴AF⊥DF，AF⊥EF，
∴∠DFE是面AFD和面AFE所成二面角的平面角．
在△DEF中，F(xiàn)D=

3

，F(xiàn)E=

6

，DE=3，
FD⊥FE，即∠DFE=90°，
∴平面AFD⊥平面AFE．
（2）證明：∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，
∴DC∥BE，
∴DC∥平面ABE，
又l=平面ACD∩平面ABE，
∴DC∥l，
又l?平面BCDE，DC?平面BCDE，
∴l(xiāng)∥平面BCDE．
（3）幾何體ABCDE的體積V=V_A-BCDE=

1

3

•S_BCDE•AF=

1

3

×

1

2

×（1+2）×2

2

×

2

=2．

點評：本題主要考查了平面與平面垂直的性質，直線與平面平行的判定等．線線垂直可由線面垂直的性質推得，直線和平面垂直，這條直線就垂直于平面內(nèi)所有直線，這是尋找線線垂直的重要依據(jù)．垂直問題的證明，其一般規(guī)律是“由已知想性質，由求證想判定”，也就是說，根據(jù)已知條件去思考有關的性質定理；根據(jù)要求證的結論去思考有關的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路結合起來．要求考生對基本定理能熟練掌握．