Question

在圓x²+y²-2x-6y=0內(nèi)，過點(diǎn)E（0，1）的最長(zhǎng)弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為

10

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓心M的坐標(biāo)和半徑，最長(zhǎng)的弦即圓的直徑，故AC的長(zhǎng)為2

10

，最短的弦BD和ME垂直，且經(jīng)過點(diǎn)E，由弦長(zhǎng)公式求出BD的值，再由ABCD的面積為

1

2

AC×BD 求出結(jié)果．

解答：解：圓x²+y²-2x-6y=0 即 （x-1）²+（y-3）²=10 表示以M（1，3）為圓心，以

10

為半徑的圓．
由圓的弦的性質(zhì)可得，最長(zhǎng)的弦即圓的直徑，AC的長(zhǎng)為2

10

．
∵點(diǎn)E（0，1），∴ME=

1+4

=

5

．
弦長(zhǎng)BD最短時(shí)，弦BD和ME垂直，且經(jīng)過點(diǎn)E，此時(shí)，BD=2

MB2-ME2

=2

10-5

=2

5

．
故四邊形ABCD的面積為

1

2

AC×BD=10

2

，
故答案為 10

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，兩點(diǎn)間的距離公式，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．