Question

在圓x²+y²-2x-6y=0內(nèi)，過點(diǎn)E（0，1）的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（　　）

• A、5

  2

• B、10

  2

• C、15

  2

• D、20

  2

Answer 1

分析：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程后，找出圓心坐標(biāo)與圓的半徑，根據(jù)圖形可知，過點(diǎn)E最長(zhǎng)的弦為直徑AC，最短的弦為過E與直徑AC垂直的弦BD，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出ME的長(zhǎng)度，根據(jù)垂徑定理得到E為BD的中點(diǎn)，在直角三角形BME中，根據(jù)勾股定理求出BE，則BD=2BE，然后利用AC與BD的乘積的一半即可求出四邊形ABCD的面積．

解答：解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x-1）²+（y-3）²=10，
則圓心坐標(biāo)為（1，3），半徑為

10

，
根據(jù)題意畫出圖象，如圖所示：
由圖象可知：過點(diǎn)E最長(zhǎng)的弦為直徑AC，最短的弦為過E與直徑AC垂直的弦，則AC=2

10

，MB=

10

，ME=

(1-0)2+(3-1)2

=

5

，
所以BD=2BE=2

( 10 )2-( 5 )2

=2

5

，又AC⊥BD，
所以四邊形ABCD的面積S=

1

2

AC•BD=

1

2

×2

10

×2

5

=10

2

．
故選B

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握垂徑定理及勾股定理的應(yīng)用，靈活運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．學(xué)生做題時(shí)注意對(duì)角線垂直的四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半．