精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
過橢圓
x2
16
+
y2
9
=1內的點P（1，2）作兩條互相垂直的弦AB，CD，若弦AB，CD的中點分別為M，N，則直線MN恒過定點，定點的坐標為______．
設直線AB的方程為y-2=k（x-1），與橢圓消去y得
（9+16k2）x2-32k（k-2）x+16（k-2）2-144=0
設A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點為M（xM，yM）
∴x1+x2=
32k(k-2)
9+16k2
，可得xM=
1
2
（x1+x2）=
16k(k-2)
9+16k2

代入直線AB方程，得yM=
-9k+18
9+16k2

∴AB中點為M（
16k(k-2)
9+16k2
，
-9k+18
9+16k2
）
∵直線AB、CD互相垂直，∴用-
1
k
代替k，得CD中點為N（
16+32k
9k2+16
，
9k+18k2
9k2+16
）
因此，直線MN方程為
y-
-9k+18
9+16k2
9k+18k2
9k2+16
-
-9k+18
9+16k2
=
x-
16k(k-2)
9+16k2
16+32k
9k2+16
-
16k(k-2)
9+16k2

取k=1，得直線方程y-
9
25
=
9
32
(x+
16
25
)，記為l1； 再k=-1，得直線方程y-
27
25
=
9
32
(x-
48
25
)，記為l2．
∵隨著直線AB、CD運動，直線MN恒過定點
∴直線l1與l2的交點即為MN恒過的定點，聯(lián)解
y-
9
25
=
9
32
(x+
16
25
)
y-
27
25
=
9
32
(x-
48
25
)
，得
x=
16
25
y=
18
25

因此，直線MN恒過定點（
16
25
，
18
25
）
故答案為：（
16
25
，
18
25
）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

若動點P（x，y）滿足
x2+(y-3)2
+
x2+(y+3)2
=10，則點P的軌跡是______．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

橢圓
x2
m2+12
+
y2
m2-4
=1(m＜-2，或m＞2)的焦距是（　�。�
A．4B．2
2
C．8D．與m有關

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知a=6，b=5，焦點在y軸上的橢圓的標準方程是（　　）
A．
x2
36
+
y2
35
=1		B．
x2
36
+
y2
25
=1
C．
x2
35
+
y2
36
=1		D．
x2
25
+
y2
36
=1

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

設m是正實數．若橢圓
x2
m2+16
+
y2
9
=1的焦距為8，則m=______．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

設F1，F2為橢圓
x2
25
+
y2
16
=1的左右焦點，過F1的直線交橢圓于A，B兩點，則△ABF2的周長為（　�。�
A．28B．26C．22D．20

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知P是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上異于長軸端點A、B的任意點，若直線PA、PB的斜率乘積kPA•kPB=-
2
3
，則該橢圓的離心率為（　�。�
A．
3
3
B．
6
6
C．
1
2
D．
2
2

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

設A(x1，y1)，B(4，
9
5
)，C(x2，y2)是右焦點為F的橢圓
x2
25
+
y2
9
=1上三個不同的點，則“|AF|，|BF|，|CF|成等差數列”是“x1+x2=8”的（　�。�
A．充要條件B．必要不充分條件
C．充分不必要條件D．既非充分也非必要

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

若橢圓x2+
y2
2
=a2(a＞0)和連接A（1，1）、B（2，3）兩點的線段沒有公共點，則實數a的取值范圍是（　�。�
A．[0，
6
2
]		B．[
6
2
，
34
2
]
C．[
34
2
，+∞]		D．(0，
6
2
)∪(
34
2
，+∞)

查看答案和解析>>

同步練習冊答案