Question

（本小題滿分12分）
已知函數(shù)，若，則稱為的“不動點”；若，則稱為的“穩(wěn)定點”。記集合
（1）已知，若是在上單調(diào)遞增函數(shù)，是否有？若是，請證明。
（2）記表示集合中元素的個數(shù)，問：
若函數(shù)，若,則是否等于0？若是，請證明
若，試問：是否一定等于1？若是，請證明

Answer 1

(1) (2),是不一定等于1。

試題分析：（1）證明：先證 任取，則

再證 任取
若，不妨設(shè)
由單調(diào)遞增可知： 與 矛盾
同理也矛盾，所以

綜上：
（2）①若 由于無實根 則對任意實數(shù)x，
從而 故無實根
同理若對任意實數(shù)x， ，從而 
故也無實根

②不妨設(shè)是B中唯一元素 則
令 那么 而
故 說明t也是的不動點
由于 只有唯一的不動點  故 即
這說明t也是的不動點，從而存在性得證
以下證明唯一性：若還有另外一個不動點m，即
則 這說明還有另外一個穩(wěn)定點m
與題設(shè)矛盾。
點評：結(jié)合新定義，和已學(xué)的函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，來分析函數(shù)的最值， 同時對于不動點的問題，要加以轉(zhuǎn)化為方程根的問題來處理，屬于中檔題。