Question

已知C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

3

，直線l：x-y=0與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓相切，曲線C₂以x軸為對稱軸．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設(shè)橢圓C₁的左焦點(diǎn)為F₁，右焦點(diǎn)F₂，直線l₁過點(diǎn)F₁且垂直于橢圓的長軸，曲線C₂上任意一點(diǎn)M到l₁距離與MF₂相等，求曲線C₂的方程．
（3）若A（x₁，2），C（x₀，y₀），是C₂上不同的點(diǎn)，且AB⊥BC，求y₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)離心率求得a和c的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)直線l與圓相切根據(jù)圓心到直線的距離為半徑求得b，進(jìn)而求得a，則橢圓方程可得．
（2））根據(jù)|MP|=|MF₂|可知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定直線l₁：x=-1的距離等于它的定點(diǎn)F₂（1，0）的距離，進(jìn)而根據(jù)拋物線的定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是以l₁為準(zhǔn)線，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的拋物線，根據(jù)定點(diǎn)直線l₁的距離求得拋物線方程中的p，則拋物線方程可得．
（3）由（1）可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出B點(diǎn)和C點(diǎn)坐標(biāo)，表示出

AB

和

BC

根據(jù)AB⊥BC可知

AB

•

BC

=0，整理得關(guān)于y₂的一元二次方程根據(jù)判別式大于等于0求得y₀的范圍．

解答：解：（1）e=

3

3

，
∴e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

3

，
∴2a²=3b²
∵直線l：x-y+2=0與圓x²+y²=b²相切，
∴

2

2

=b，
∴b=

2

，b²=2，
∴a²=3．
∴橢圓C₁的方程是

x2

3

+

y2

2

=1.
（2）∵|MP|=|MF₂|，
∴動(dòng)點(diǎn)M到定直線l₁：x=-1的距離等于它的定點(diǎn)F₂（1，0）的距離
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以l₁為準(zhǔn)線，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的拋物線，
∴

p

2

=1，p=2，
∴點(diǎn)M的軌跡C₂的方程為y²=4x．
（3）由（1）知A（1，2），B(

y 2 2

4

，y2)，C(

y 2 0

4

，y0)，y0≠2，y0≠y2，y₂≠2，①則

AB

=(

y 2 2 -4

4

，y2-2)，

BC

=(

y 2 0 - y 2 2

4

，y0-y2)，
又因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">AB⊥BC，所以

AB

•

BC

=0，

y 2 2 -4

4

×

y 2 0 - y 2 2

4

+(y2-2)(y0-y2)=0，
整理得y₂²+（y₀+2）y₂+16+2y₀=0，則此方程有解，
∴△=（y₀+2）²-4•（16+2y₀）≥0解得y₀≤-6或y₀≥10，又檢驗(yàn)條件①：
∵y₂=2時(shí)y₀=-6，不符合題意．
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y₀的取值范圍是（-∞，-6）∪[10，+∞）．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．涉及了圓錐曲線方程，方程的根，與圓錐曲線性質(zhì)有關(guān)的量的取值范圍等問題，是近幾年高考的趨向．