Question

已知函數(shù)f(x)=ln(2+3x)-

3

2

x2．
（I）求f（x）在[0，1]上的最大值；
（II）若對任意的實數(shù)x∈[

1

6

，

1

2

]，不等式|a-lnx|+ln[f'（x）+3x]＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（III）若關(guān)于x的方程f（x）=-2x+b在[0，1]上恰有兩個不同的實根，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求出導函數(shù)，令導函數(shù)為0求出兩個根，判斷出根兩邊的導數(shù)的符號，求出函數(shù)的極值即最值．
（II）分離出參數(shù)a，構(gòu)造兩個新函數(shù)，通過求導數(shù)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，求出a的范圍．
（III）分離出參數(shù)b，構(gòu)造函數(shù)，通過求導數(shù)求出函數(shù)的極值，求出參數(shù)b的范圍．

解答：解：（I）f′(x)=

3

2+3x

-3x=

-3(x+1)(3x-1)

3x+2

，令f'（x）=0，得x=

1

3

或x=-1（舍）
當0≤x＜

1

3

時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當

1

3

＜x≤1時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，∴f(

1

3

)=ln3-

1

6

是函數(shù)在[0，1]上的最大值
（2）|a-lnx|＞-ln

3

2+3x

對x∈[

1

6

，

1

2

]恒成立
若ln

3

2+3x

＞0即x∈[

1

6

，

1

3

 )恒成立
由|a-lnx|+ln[f'（x）+3x]＞0得a＞lnx-ln

3

2+3x

或a＜lnx+ln

3

2+3x

設h(x)=lnx-ln

3

2+3x

= ln

2x+3x2

3

；g(x)=lnx+ln

3

2+3x

= ln

3

2+3x

依題意得a＞h（x）或a＜g（x）在x∈[

1

3

，

1

2

]恒成立
∵g′(x)=

2

x(2+3x)

＞0，h′(x)=

2+6x

2x+3x2

＞0
∴g（x），h（x）都在[

1

3

，

1

2

]上遞增
∴a＞h(

1

2

)或a＜g(

1

3

)
即a＞ln

7

12

或a＜ln

1

3

（3）由f（x）=-2x+b知ln(2+3x)-

3

2

x2+2x-b=0，
令?(x)=ln(2+3x)-

3

2

x2+2x-b，則?′(x)=

3

2+3x

-3x+2=

7-9x2

2+3x

當x∈[0，

7

3

]時，?'（x）＞0，于是?（x）在[0，

7

3

]上遞增；當x∈[

7

3

，1]時，?'（x）＜0，于是?（x）在[

7

3

，1]上遞減，而?(

7

3

)＞?(0)，?(

7

3

)＞?(1)∴f（x）=-2x+b即?（x）=0在[0，1]上恰有兩個不同實根等價于

?(0)=ln2-b≤0 ?( 7 3 )ln(2+ 7 )- 7 6 + 2 7 3 -b＞0 ?(1)=ln5+ 1 2 -b≤0

，解得ln5+

1

2

≤b＜ln(2+

7

)-

7

6

+

2 7

3

點評：解決不等式恒成立求參數(shù)的范圍，通常通過構(gòu)造新函數(shù)，通過新函數(shù)導數(shù)求出函數(shù)的最值，進一步求出參數(shù)的范圍．