Question

已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=

1

2

x2+a（a為常數(shù)），直線l與函數(shù)f（x）、g（x）的圖象都相切，且l與函數(shù)f（x）的圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．
（1）求直線l的方程及a的值；
（2）當(dāng)k＞0時(shí)，試討論方程f（1+x²）-g（x）=k的解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，再用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程，化成斜截式即可，再根據(jù)直線l與函數(shù)f（x）、g（x）的圖象都相切建立等量關(guān)系，即可求出a的值；
（2）先令y₁=f（1+x²）-g（x）求出y₁’=0的值，再討論滿(mǎn)足y₁’=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的變化情況，來(lái)確定極值，由函數(shù)y₁在R上各區(qū)間上的增減及極值情況，可得方程f（1+x²）-g（x）=k的解的個(gè)數(shù)．

解答：解：（1）f′（x）=

1

x

，f′（1）=1，故直線l的斜率為1，
切點(diǎn)為（1，f（1）），即（1，0）∴l(xiāng)：y=x-1 ①
又∵g′（x）=x∴g′（1）=1，切點(diǎn)為（1，

1

2

+a）
∴l(xiāng)：y-（

1

2

+a）=x-1，即y=x-

1

2

+a ②
比較①和②的系數(shù)得-

1

2

+a=-1，∴a=-

1

2

． （6分）
（2）由f（1+x²）-g（x）=k，即ln(1+x2)-

1

2

x2+

1

2

=k
設(shè)y₁=ln（1+x²）-

1

2

x2+

1

2

，y2=ky′1=

2x

1+x2

-x=

x(1-x)(x+1)

1+x2

．
令y'₁=1，解得x=0，-1，1．

由函數(shù)y₁在R上各區(qū)間上的增減及極值情況，可得
（1）當(dāng)0＜k＜

1

2

時(shí)有兩個(gè)解；
（2）當(dāng)k=

1

2

時(shí)有3個(gè)解；
（3）當(dāng)

1

2

＜k＜ln2時(shí)有4個(gè)解
（4）當(dāng)k=ln2時(shí)有2個(gè)解；
（5）當(dāng)k＞ln2時(shí)無(wú)解．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和方程解的個(gè)數(shù)，同時(shí)考查了函數(shù)與方程、分類(lèi)討論的思想，屬于基礎(chǔ)題．