已知定義域為D的函數(shù)y=f(x),若對于任意x∈D,存在正數(shù)K,都有|f(x)|≤K|x|成立,那么稱函數(shù)y=f(x)是D上的“倍約束函數(shù)”,已知下列函數(shù):
①f(x)=2x;
②f(x)=2sin(x+
π
4
);     
③f(x)=x3-2x2+x;    
④f(x)=
x2
x2+x+1
,
其中是“倍約束函數(shù)”的是
①④
①④
.(將你認為正確的函數(shù)序號都填上)
分析:對于任意x∈D,存在正數(shù)K,都有|f(x)|≤K|x|成立?|
f(x)
x
|
≤k,對①②③④逐個分析判斷即可.
解答:解:①∵f(x)=2x,
∴存在正數(shù)2,都有|
f(x)
x
|
=|
2x
x
|
=2≤2,
∴①是“倍約束函數(shù)”;
②f(x)=2sin(x+
π
4
),
∵x→0+|
f(x)
x
|
=|
2sin(x+
π
4
)
x
|
→+∞,故不存在正數(shù)k使得對于任意x∈D,都有|f(x)|≤K|x|成立,
∴②不是“倍約束函數(shù)”;
f(x)=x3-2x2+x,當x→+∞|
f(x)
x
|
=|x2-2x+1|→+∞,故不存在正數(shù)k使得對于任意x∈D,都有|f(x)|≤K|x|成立,
∴③不是“倍約束函數(shù)”;
④(x)=
x2
x2+x+1
,|
f(x)
x
|
=|
x
x2+ x+1
|=
0(x=0)
|
1
x+
1
x
+1
|(x≠0)
,而|
1
x+
1
x
+1
|≤
1
3
,f故存在正數(shù)
1
3
使得對于任意x∈D,都有|f(x)|≤
1
3
|x|成立,
∴④是“倍約束函數(shù)”;
綜上所述,是“倍約束函數(shù)”的是①④.
故答案為:①④
點評:本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義,將|f(x)|≤K|x|成立轉化為|
f(x)
x
|
≤k,是關鍵,考查學生分析問題與綜合應用的能力,屬于難題.
練習冊系列答案
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已知定義域為D的函數(shù)f(x),對任意x∈D,存在正數(shù)K,都有|f(x)|≤K成立,則稱函數(shù)f(x)是D上的“有界函數(shù)”.已知下列函數(shù):①f(x)=2sin x;②f(x)=
1-x2
;③f(x)=1-2x;④f(x)=
x
x2+1
,其中是“有界函數(shù)”的是
 
.(寫出所有滿足要求的函數(shù)的序號)

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已知定義域為D的函數(shù)f(x),如果對任意x∈D,存在正數(shù)K,都有|f(x)|≤K|x|成立,那么稱函數(shù)f(x)是D上的“倍約束函數(shù)”,已知下列函數(shù):①f(x)=2x;②f(x)=2sin(x+
π
4
)
;③f(x)=
x-1
;④f(x)=
x
x2-x+1
,其中是“倍約束函數(shù)的是
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知定義域為D的函數(shù)f(x),如果對任意x∈D,存在正數(shù)k,都有f(x)≤k|x|成立,那么稱函數(shù)f(x)是D上的“倍約束函數(shù)”,已知下列函數(shù):
①f(x)=2x;
f(x)=2sin(x+
π
4
)
;
f(x)=
x-1
;
④f(x)=
x
x2-x+1

其中是“倍約束函數(shù)”的個數(shù)為( 。

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科目:高中數(shù)學 來源:2010年江蘇省南京市高考數(shù)學二模試卷(解析版) 題型:解答題

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