Question

（2001•上海）對(duì)任意函數(shù)f（x），x∈D，可按圖示構(gòu)造一個(gè)數(shù)列發(fā)生器，其工作原理如下：
①輸入數(shù)據(jù)x₀∈D，經(jīng)按列發(fā)生器，其工作原理如圖：
②若x₁∈D，則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作；若x₁∈D，則將x₁反饋回輸入端，再輸出x₂=f（x₁），并依此規(guī)律繼續(xù)下去，現(xiàn)定義f(x)=

4x-2

x+1

．
（Ⅰ）若輸入x0=

49

65

，則由數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列{x_n}．請(qǐng)寫(xiě)出數(shù)列{x_n}的所有項(xiàng)：
（Ⅱ）若要數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)無(wú)窮的常數(shù)數(shù)列，試求輸入的初始數(shù)據(jù)x₀的值；
（Ⅲ）若輸入x₀時(shí)，產(chǎn)生的無(wú)窮數(shù)列{x_n}滿(mǎn)足；對(duì)任意正整數(shù)n，均有x_n＞x_n+1，求x₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）確定f（x）的定義域，可得數(shù)列{x_n}只有三項(xiàng)；
（2）由f(x)=

4x-2

x+1

=x，可得結(jié)論；
（3）解不等式x＜

4x-2

x+1

，得x＜-1或1＜x＜2，要使x₁＜x₂，則x₁＜-1或1＜x₁＜2，從而可求x₀的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）的定義域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞），
∴數(shù)列{x_n}只有三項(xiàng)：x1=

11

19

，x2=

1

5

，x3=-1．…（3分）
（2）∵f(x)=

4x-2

x+1

=x，即x²-3x+2=0，
∴x=1，或x=2．
即當(dāng)x₀=1或2時(shí)，xn+1=

4xn-2

xn+1

=xn．
故當(dāng)x₀=1時(shí)，x_n=1；當(dāng)x₀=2時(shí)，x_n=2（n∈N）．…（9分）
（3）解不等式x＜

4x-2

x+1

，得x＜-1或1＜x＜2．
要使，x₁＜x₂，則x₁＜-1或1＜x₁＜2．…（12分）
對(duì)于函數(shù)f(x)=

4x-2

x+1

=4-

6

x+1

，
若x₁＜-1，則x₂=f（x₁）＞4，x₃=f（x₂）＜x₂．…（15分）
當(dāng)1＜x₁＜2時(shí)，x₂=f（x），且1＜x₂＜2，
依此類(lèi)推，可得數(shù)列{x_n}的所有項(xiàng)均滿(mǎn)足x_n+1＞x_n（n∈N）．
綜上所述，x₁∈（1，2）．
由x₁=f（x₀），得x₀∈（1，2）．…（18分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查新定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．