Question

一個(gè)幾何體是由圓柱和三棱錐組合而成，點(diǎn)、、在圓的圓周上，其正（主）視圖、側(cè)（左）視圖的面積分別為10和12，如圖4所示，其中，，，．

（1）求證：；
（2）求三棱錐的體積．

Answer 1

(1) 證明過程詳見解析(2)

試題分析：
(1)要證明,只需要考慮證明AC垂直于BD所在的面,即面ABD,所以證明AC與AD,AB垂直即可,而AE與AD在同一條直線上且AE垂直于AC所在的一個(gè)面,根據(jù)線面垂直的性質(zhì),即可得到AC與AD垂直,而AC與AB垂直題目已給,所以能證明AC與面BCD垂直,進(jìn)而證明AC與BD垂直.
(2)首先根據(jù)題目所給正視圖與側(cè)視圖的面積,求出三角形AOE的面積,得到AO的長(zhǎng),再根據(jù)OA等腰直角三顆星ABC斜邊的中線,即可求出等腰直角三顆星三條邊的長(zhǎng)度,進(jìn)而得到三角形的面積,根據(jù)正視圖的面積為三角形AOE與矩形的面積和得到AD的長(zhǎng),而所求三棱錐的體積可以分為三棱與兩個(gè)部分,兩部分都以三角形ABC為底面,分別以AE與AD為高,且都已知,進(jìn)而可以求出三棱錐.
試題解析：
(1)證明:面(即面ABC)且面ABC
 
又且面ABD,
面ABD
面ABD

(2)因?yàn)檎�視圖和側(cè)視圖的面積分別為11和12,所以,又因?yàn)锳E=2,所以O(shè)A=1,,因?yàn)檎�視圖的面積為11,所以,因?yàn)榈酌嫒�角形ABC為等腰直角三角形且斜邊的中線OA=1,所以,又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035520219430.png" style="vertical-align:middle;" />面ABC且面ABC,所以
,綜上.