Question

已知圓C：x²+y²+2x-4y+k=0（k＜5）；
（I）若k=1，圓C內(nèi)有一點(diǎn)P（-2，3），經(jīng)過P的直線l與圓C交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)弦AB恰被P平分時(shí)，求直線l的方程；
（II）若圓C與直線x+y+1=0交于P、Q兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)k，使OP⊥OQ（O為原點(diǎn)）？如果存在，求出k的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）因?yàn)橄褹B被點(diǎn)P平分，先求出OP的斜率，然后根據(jù)垂徑定理得到OP⊥AB，由垂直得到兩條直線斜率乘積為-1，求出直線AB的斜率，然后寫出直線的方程．
（II）設(shè)出P，Q的坐標(biāo)，根據(jù)OP⊥OQ可推斷出，把P，Q坐標(biāo)代入求得關(guān)系式，把直線方程與圓的方程聯(lián)立消去y，利用韋達(dá)定理表示出x_p+x_Q和x_p•x_Q，利用直線方程求得y_p•y_Q的表達(dá)式，最后聯(lián)立方程求得m，利用判別式驗(yàn)證成立，答案可得．
解答：解：（1）∵P0為AB的中點(diǎn)，OA=OB=r，∴OP⊥AB
又k=1時(shí)，C（-1，2），∴=-2，∴k_AB=1，∴直線AB的方程為x-y+5=0
（2）設(shè)點(diǎn)P（x_p，y_P），Q（x_Q，y_Q）
當(dāng)OP⊥OQ時(shí)，Kop•K_OQ=-1⇒⇒x_px_Q+y_py_Q=0
又直線與圓相交于P、Q⇒⇒P、Q坐標(biāo)是方程2y²-4y+k-1=0的兩根有：y_P+y_Q=2，
從而有2y_Py_Q+y_Q+y_P=0，∴k=-2
且檢驗(yàn)△＞O成立，故存在k=-2，使OP⊥OQ
點(diǎn)評：考查學(xué)生會根據(jù)傾斜角求出直線的斜率，綜合運(yùn)用直線與圓方程的能力，會根據(jù)一個(gè)點(diǎn)和斜率寫出直線的方程．
本題主要考查了圓的方程的綜合運(yùn)用．本題的最后對求得的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證是不可或缺的步驟，保證了結(jié)果的正確性．