Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若，求的極值；

（Ⅱ）若在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).（直接寫出結(jié)論）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）有極大值，極大值為；沒有極小值；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)極值的定義求解；（Ⅱ）轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值；（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和極值即可判斷.

解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?/span>.

因?yàn)?/span>，所以.

令，解得，

		極大值

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.

所以有極大值，極大值為；沒有極小值.

（Ⅱ）因?yàn)?/span>，所以在上恒成立，即在恒成立.

設(shè)

①當(dāng)時(shí)，，不符合題意.

②當(dāng)時(shí)，

.

令,即，

因?yàn)榉匠?/span>的判別式，兩根之積. 所以有兩個(gè)異號(hào)根. 設(shè)兩根為，且，

i）當(dāng)時(shí)，

		極大值

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以，不符合題意；

ii）當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，

在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，符合題意.

綜上，.

（Ⅲ）當(dāng)或時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)且時(shí)，函數(shù)有個(gè)零點(diǎn).