Question

在數(shù)列{a_n}中，S_n是其前n項(xiàng)和，已知a₁=1，a₂=3，且當(dāng)n≥2時(shí)，．
（I）求證：數(shù)列{S_n}是等比數(shù)列；
（II）記，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求使等式成立的n和整數(shù)λ的值．

Answer 1

解：（I）當(dāng)n≥2時(shí)，=
整理可得，S_n²=S_n-1S_n+1（n≥2）
由S₁=1≠0，S₂=4≠0可知對(duì)一切正整數(shù)n都有S_n≠0
數(shù)列S_n是等比數(shù)列
（II）由（I）知數(shù)列S_n是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，S_n=4^n-1
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=3×4^n-2，且a₁=S₁=1
故當(dāng)n≥2時(shí)，==
又
當(dāng)n≥2時(shí)，T_n=b₁+b₂+…+b_n=+
=
若n=1，代入可得不是整數(shù)，故舍去
若n≥2時(shí)，?
因?yàn)棣耸钦麛?shù)
4^n-1+1是5的約數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)符合條件
此時(shí)，λ=4，n=2
分析：（I）當(dāng)n≥2時(shí)，由已知利用遞推公式可得=
整理可得，S_n²=S_n-1S_n+1（n≥2），從而可證
（II）由（I）知，數(shù)列S_nS_n=4^n-1進(jìn)而可得當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=3×4^n-2，且a₁=S₁=1
代入可求，==
又容易求得T_n=b₁+b₂+…+b_n=，代入所求的式子整理可求 n，λ
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的證明，利用遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的求和，屬于綜合試題．