如果由數(shù)列{an}生成的數(shù)列{bn}滿足對(duì)任意的n∈N*均有bn+1<bn,其中bn=an+1-an,則稱數(shù)列{an}為“Z數(shù)列”.
(Ⅰ)在數(shù)列{an}中,已知an=-n2,試判斷數(shù)列{an}是否為“Z數(shù)列”;
(Ⅱ)若數(shù)列{an}是“Z數(shù)列”,a1=0,bn=-n,求an;
(Ⅲ)若數(shù)列{an}是“Z數(shù)列”,設(shè)s,t,m∈N*,且s<t,求證:at+m-as+m<at-as
分析:(Ⅰ)由題設(shè)條件知bn=an+1-an=-(n+1)2+n2=-2n-1,n∈N*,由此可得bn+1-bn=-2(n+1)-1+2n+1=-2,所以bn+1<bn,數(shù)列{an}是“Z數(shù)列”.
(Ⅱ)由題意知an-an-1=bn-1=-(n-1),由此可知an=-
(n-1)n
2
(n≥2).
Ⅲ)由as+m-as=(as+m-as+m-1)++(as+1-as)=bs+m-1++bs,at+m-at=(at+m-at+m-1)++(at+1-at)=bt+m-1++bt,
知bs+m-1>bt+m-1,bs+m-2>bt+m-2,,bs>bt,所以at+m-at<as+m-as,即at+m-as+m<at-as
解答:解:(Ⅰ)因?yàn)閍n=-n2,
所以bn=an+1-an=-(n+1)2+n2=-2n-1,n∈N*,(2分)
所以bn+1-bn=-2(n+1)-1+2n+1=-2,
所以bn+1<bn,數(shù)列{an}是“Z數(shù)列”.(4分)
(Ⅱ)因?yàn)閎n=-n,
所以a2-a1=b1=-1,a3-a2=b2=-2,an-an-1=bn-1=-(n-1),
所以an-a1=-1-2--(n-1)=-
(n-1)n
2
(n≥2),(6分)
所以an=-
(n-1)n
2
(n≥2),
又a1=0,所以an=-
(n-1)n
2
(n∈N*).(8分)
(Ⅲ)因?yàn)閍s+m-as=(as+m-as+m-1)++(as+1-as)=bs+m-1++bs,at+m-at=(at+m-at+m-1)++(at+1-at)=bt+m-1++bt,
(10分)
又s,t,m∈N*,且s<t,所以s+i<t+i,bs+i>bt+i,n∈N*,
所以bs+m-1>bt+m-1,bs+m-2>bt+m-2,,bs>bt,(12分)
所以at+m-at<as+m-as,即at+m-as+m<at-as.(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時(shí)要注意計(jì)算能力的培養(yǎng).
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:全優(yōu)設(shè)計(jì)選修數(shù)學(xué)-2-2蘇教版 蘇教版 題型:044

意大利數(shù)學(xué)家斐波那契(L.Fibonacci)在他的1228年版的《算經(jīng)》一書中記述了有趣的兔子問題:假定每對(duì)大兔子每月能生一對(duì)小兔子,而每對(duì)小兔子過了一個(gè)月就可長成大兔子.如果不發(fā)生死亡,那么由一對(duì)大兔子開始,一年后能有多少對(duì)大兔子呢?

我們依次給出各個(gè)月的大兔子對(duì)數(shù),并一直推算下去到無盡的月數(shù),可得數(shù)列:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,….

這就是斐波那契數(shù)列,此數(shù)列中a1=a2=1,你能歸納出,當(dāng)n≥3時(shí)an的遞推關(guān)系式嗎?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:設(shè)計(jì)選修數(shù)學(xué)-2-2蘇教版 蘇教版 題型:044

意大利數(shù)學(xué)家斐波那契(L.Fibonacci)在他的1228年出版的《算經(jīng)》一書中,記述了有趣的兔子問題,假定每對(duì)大兔子每月能生一對(duì)小兔子,而每對(duì)小兔子過了一個(gè)月就可以長成大兔子,如果不發(fā)生死亡,那么由一對(duì)大兔子開始,一年后能有多少對(duì)大兔子呢?若一直推算下去,可得到一個(gè)數(shù)列{an}.若a1=a2=1,你能歸納出當(dāng)n≥3時(shí)an的遞推關(guān)系嗎?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

意大利數(shù)學(xué)家斐波那契(L.FibonACCi)在他的1228年版的《算經(jīng)》一書中記述了有趣的兔子問題:假定每對(duì)大兔子每月能生一對(duì)小兔子,而每對(duì)小兔子過了一個(gè)月就可長成大兔子,如果不發(fā)生死亡,那么由一對(duì)大兔子開始,一年后能有多少對(duì)大兔子呢?

我們依次給出各個(gè)月的大兔子對(duì)數(shù),并一直推算下去到無盡的月數(shù),可得數(shù)列:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,……

這就是斐波那契數(shù)列,此數(shù)列中a1=a2=1,你能歸納出當(dāng)n≥3時(shí)an的遞推關(guān)系式嗎??

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

意大利數(shù)學(xué)家斐波那契(L. Fibonacci)在他的1228年版的《算經(jīng)》一書中記述了有趣的兔子問題:假定每對(duì)大兔子每月能生一對(duì)小兔子,而每對(duì)小兔子過了一個(gè)月就可長成大兔子,如果不發(fā)生死亡,那么由一對(duì)大兔子開始,一年后能有多少對(duì)大兔子呢??

我們依次給出各個(gè)月的大兔子對(duì)數(shù),并一直推算下去到無盡的月數(shù),可得數(shù)列:?

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,….?

這就是斐波那契數(shù)列,此數(shù)列中a1=a2=1,你能歸納出,當(dāng)n≥3時(shí)an的遞推關(guān)系式嗎??

      

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我們依次給出各個(gè)月的大兔子對(duì)數(shù),并一直推算下去到無盡的月數(shù),可得數(shù)列:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,……

這就是斐波那契數(shù)列,此數(shù)列中a1=a2=1,你能歸納出當(dāng)n≥3時(shí)an的遞推關(guān)系式嗎??

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