Question

8．四邊形ABCD為正方形，BA⊥面ADPQ，AD⊥AQ，PD∥AQ，
（1）若QA=AB=$\frac{1}{2}$PD，證明：PQ⊥平面DCQ；
（2）若QA=AB=$\frac{1}{3}$PD，求棱錐Q-ABCD的體積與棱錐P-QDC的體積的比值．

Answer 1

分析 （1）由AD⊥DP，CD⊥平面ADPQ，可得DA，DP，DC兩兩垂直．以D為原點(diǎn)，DA，DP，DC所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz．利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出．
（2）利用棱錐的體積計(jì)算公式即可得出．

解答 （1）證明：∵AD⊥DP，CD⊥平面ADPQ，∴DA，DP，DC兩兩垂直．以D為原點(diǎn)，
DA，DP，DC所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz．
不妨設(shè)AB=1，則D（0，0，0），B（1，0，1），
C（0，0，1），Q（1，1，0），P（0，2，0）．
$\overrightarrow{PQ}$=（1，-1，0），
$\overrightarrow{PQ}$$•\overrightarrow{DQ}$=1-1+0=0，∵BA⊥面ADPQ，BA∥DC，
∴DC⊥面ADPQ，∴DC⊥PQ．
∴DC⊥PQ，DQ⊥PQ，又DC∩DQ=D，
∴PQ⊥平面DCQ．
（2）解：設(shè)AB=a，由題設(shè)，QA⊥AD，QA⊥CD，知AQ為棱錐Q-ABCD的高，
∴棱錐Q一ABCD的體積V₁=$\frac{1}{3}{a}^{3}$，
棱錐P-DCQ的體積V₂=V_C-DPQ=$\frac{1}{3}$a•$\frac{1}{2}$•3a•a=$\frac{1}{2}{a}^{3}$，
故棱錐Q-ABCD的體積：棱錐P-DCQ的體積=2：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)定理、棱錐的體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．