Question

（09年海淀區(qū)期中理）（14分） 

設是定義在區(qū)間D上的函數(shù)，若對任何實數(shù)以及D中的任意兩數(shù)，恒有，則稱為定義在D上的C函數(shù).

   （Ⅰ）試判斷函數(shù)，是否為各自定義域上的C函數(shù)，并說明理由；

   （Ⅱ）已知是R上的C函數(shù)，m是給定的正整數(shù)，設，且，記. 對于滿足條件的任意函數(shù)，試求的最大值；

   （Ⅲ）若是定義域為R的函數(shù)，且最小正周期為，試證明不是R上的C函數(shù).

Answer 1

解析：（Ⅰ）是C函數(shù)，證明如下：

對任意實數(shù)及，

有

.

即

∴是C函數(shù).

不是C函數(shù)，證明如下：

取，，，

則

即

∴不是C函數(shù).    ……………………………4分

   （Ⅱ） 對任意，取，，

   是R上的C函數(shù)， ，且

∴.

那么.

可證是C函數(shù)，且使得都成立，此時．

綜上所述，的最大值為．…………………………9分

   （Ⅲ）假設是R上的C函數(shù)．

若存在且，使得

若

記，，，則，且．

那么

這與矛盾.

若

記，，也可得到矛盾．

∴在上是常數(shù)函數(shù)，又因為是周期為T的函數(shù)，所以在R上是常數(shù)函數(shù)，這與的最小正周期為T矛盾.

所以不是R上的C函數(shù)．…………………14分