Question

【題目】已知，函數(shù)，.

（1）求的單調(diào)區(qū)間

（2）討論零點的個數(shù)

Answer 1

【答案】（1）在區(qū)間，上是增函數(shù)；（2）見解析

【解析】

（1）先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)判斷函數(shù)增減性

（2）先對求導(dǎo)，可判斷單調(diào)遞增，再通過賦值和可判斷存在實數(shù)

，使得，再通過討論在零點處的最小值是小于零還是大于零來進(jìn)一步判斷零點個數(shù)

（1）的定義域為，且，則，,

當(dāng)時，，是減函數(shù)； 當(dāng)時，，是增函數(shù)

所以，所以在上，，

所以在區(qū)間，上是增函數(shù).

（2）由題意知，

令，因為，

所以在上單調(diào)遞增.

又，

.

所以存在實數(shù)，使得.

在上，，是減函數(shù)；在上，，是增函數(shù).

所以的最小值是，其中滿足，即，

所以

①當(dāng)，即時，的最小值為0，此時有一個零點；

②當(dāng)時，，沒有零點，此時.

由的單調(diào)性，可得；

③當(dāng)時，，有兩個零點.

又，所以，

由的單調(diào)性，可得.

綜上所述，當(dāng)時，沒有零點；

當(dāng)時，只有1個零點；

當(dāng)時，有2個零點.