(04年全國(guó)卷III理)(12分)

三棱錐P-ABC中,側(cè)面PAC與底面ABC垂直,PA=PB=PC=3.

(1)求證 AB⊥BC ;

(II)如果 AB=BC=2,求AC與側(cè)面PBC所成角的大。

解析:⑴證明:取AC中點(diǎn)O, 連結(jié)PO、BO.

∵PA=PC ∴PO⊥AC 

又∵側(cè)面PAC⊥底面ABC

∴PO⊥底面ABC

又PA=PB=PC ∴AO=BO=CO

∴△ABC為直角三角形 ∴AB⊥BC

 

⑵解:取BC的中點(diǎn)為M,連結(jié)OM,PM,所以有OM=AB=,AO=

由⑴有PO⊥平面ABC,OM⊥BC,由三垂線定理得PM⊥BC

∴平面POM⊥平面PBC,又∵PO=OM=.

∴△POM是等腰直角三角形,取PM的中點(diǎn)N,連結(jié)ON, NC

則ON⊥PM, 又∵平面POM⊥平面PBC, 且交線是PM, ∴ON⊥平面PBC

∴∠ONC即為AC與平面PBC所成的角.

  ∴.

故AC與平面PBC所成的角為.

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(04年全國(guó)卷III文)(12分)

三棱錐P-ABC中,側(cè)面PAC與底面ABC垂直,PA=PB=PC=3.

(1)求證 AB⊥BC ;

(II)如果 AB=BC=2,求側(cè)面PBC與側(cè)面PAC所成二面角的大。

 

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