Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知2S_n+1=S_n+λ（n∈N^*，λ為常數(shù)），a₁=2，a₂=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求所有滿足等式

Sn-m

Sn+1-m

=

1

am+1

成立的正整數(shù)m，n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用條件a₁=2，a₂=1建立方程組，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求出S_n，利用等式

Sn-m

Sn+1-m

=

1

am+1

成立，解方程即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意，得2S₂=S₁+λ，求得λ=4．
所以，2S_n+1=S_n+4①
當(dāng)n≥2時(shí)，2S_n=S_n-1+4②
①-②，得an+1=

1

2

an（n≥2），又a2=

1

2

a1，
所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為

1

2

的等比數(shù)列．
所以{a_n}的通項(xiàng)公式為an=(

1

2

)n-2（n∈N^*）．
（2）由（1），得Sn=4(1-

1

2n

)，
由

Sn-m

Sn+1-m

=

1

am+1

，得1+

an+1

Sn-m

=1+am，化簡得

2

(4-m)2n-4

=

4

2m

，
即（4-m）2ⁿ-4=2^m-1，即（4-m）2ⁿ=4+2^m-1．（*）
因?yàn)?^m-1+4＞0，所以（4-m）•2ⁿ＞0，所以m＜4，
因?yàn)閙∈N^*，所以m=1或2或3．
當(dāng)m=1時(shí)，由（*）得3×2ⁿ=5，所以無正整數(shù)解；
當(dāng)m=2時(shí)，由（*）得2×2ⁿ=6，所以無正整數(shù)解；
當(dāng)m=3時(shí)，由（*）得2ⁿ=8，所以n=3．
綜上可知，存在符合條件的正整數(shù)m=n=3．

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，考查學(xué)生的計(jì)算能力．